Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}v\in V$. Dann ist ${}v\in V_{i+1}=\operatorname {kern} \varphi ^{i+1}$ äquivalent zu ${}\varphi (v)\in V_{i}=\operatorname {kern} \varphi ^{i}$, was die erste Behauptung bedeutet. Für die zweite Behauptung sei

${}V_{i}=V_{i+1}\,$

für ein ${}i<s$ angenommen. Durch Anwendung von ${}\varphi ^{-1}$ ergibt sich

${}V_{i+1}=\varphi ^{-1}(V_{i})=\varphi ^{-1}(V_{i+1})=V_{i+2}\,.$

In dieser Weise erhält man

${}V_{i}=V_{i+1}=V_{i+2}=\ldots =V_{s}=V\,$

im Widerspruch zur Minimalität von ${}s$.

Zur bewiesenen Aussage