Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $v\in V$.  Dann ist  $v\in V_{i+1}=\mathrm{kern}{\phi }^{i+1}$  äquivalent zu  $\phi (v)\in V_i=\mathrm{kern}{\phi }^i$,  was die erste Behauptung bedeutet. Für die zweite Behauptung sei

$V_i=V_{i+1}$

für ein  $i<s$  angenommen. Durch Anwendung von ${\phi }^{-1}$ ergibt sich

$V_{i+1}={\phi }^{-1}(V_i)={\phi }^{-1}(V_{i+1})=V_{i+2}.$

In dieser Weise erhält man

$V_i=V_{i+1}=V_{i+2}=\dots =V_s=V$

im Widerspruch zur Minimalität von $s$.

Zur bewiesenen Aussage