Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt

Es sei $K$ ein Körper und es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum. Es sei

$\phi :V⟶V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei

${\phi }^s=0$

und $s$ minimal mit dieser Eigenschaft.

Dann besteht zwischen den Untervektorräumen

$V_i:=\mathrm{kern}{\phi }^i$

die Beziehung

${\phi }^{-1}(V_i)=V_{i+1}$

und die Inklusionen

$V_i\subset V_{i+1}$

sind echt für  $i<s$. 

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen