Nilpotenter Endomorphismus/Sukzessive Kerne/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Es sei

${}\varphi ^{s}=0\,$

und ${}s$ minimal mit dieser Eigenschaft.

Dann besteht zwischen den Untervektorräumen

${}V_{i}:=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,$

die Beziehung

${}\varphi ^{-1}(V_{i})=V_{i+1}\,$

und die Inklusionen

${}V_{i}\subset V_{i+1}\,$

sind echt für ${}i<s$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen