Noetherscher Integritätsbereich/Durchschnittseigenschaft/Assoziierte Primideale/Fakt/Beweis

Beweis

Der Durchschnitt wird im Quotientenkörper genommen, die Inklusion ${}\subseteq$ ist klar. Sei ${}f\in Q(R)$ gegeben, wir schreiben

${}f=g/h\,.$

Es sei ${}g/h\notin R$, was wiederum ${}g\notin hR$ bedeutet. Dann ist die Restklasse ${}[g]$ von ${}g$ in ${}R/(hR)$ nicht ${}0$. Wir betrachten den von ${}0$ verschiedenen Untermodul

${}(Rg+Rh)/Rh\subseteq R/Rh\,.$

Es sei ${}{\mathfrak {p}}$ ein dazu assoziiertes Primideal, das das Annullatorideal zu ${}[g]$ umfasse, was es nach Fakt gibt. Wäre ${}g\in hR_{\mathfrak {p}}$, so wäre

${}gs=hr\,$

mit ${}s\notin {\mathfrak {p}}$, doch dann wäre ${}r$ ein Annullator von ${}[g]$, ein Widerspruch. Also ist ${}g/h\notin R_{\mathfrak {p}}$.

Zur bewiesenen Aussage