Es sei a ⊆ R / b {\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\subseteq R/{\mathfrak {b}}} ein Ideal und sei a ~ ⊆ R {\displaystyle {}{\tilde {\mathfrak {a}}}\subseteq R} das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also a ~ = ( f 1 , … , f n ) {\displaystyle {}{\tilde {\mathfrak {a}}}=(f_{1},\ldots ,f_{n})} . Die Restklassen dieser Erzeuger, also f ¯ 1 , … , f ¯ n {\displaystyle {}{\bar {f}}_{1},\ldots ,{\bar {f}}_{n}} , bilden ein Idealerzeugendensystem von a {\displaystyle {}{\mathfrak {a}}} : Für ein Element g ¯ ∈ a {\displaystyle {}{\bar {g}}\in {\mathfrak {a}}} gilt ja g = ∑ i = 1 n r i f i {\displaystyle {}g=\sum _{i=1}^{n}r_{i}f_{i}} in R {\displaystyle {}R} und damit g ¯ = ∑ i = 1 n r ¯ i f ¯ i {\displaystyle {}{\bar {g}}=\sum _{i=1}^{n}{\bar {r}}_{i}{\bar {f}}_{i}} in R / b {\displaystyle {}R/{\mathfrak {b}}} .
ein Ideal und sei 
das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also 
. Die Restklassen dieser Erzeuger, also 
, bilden ein Idealerzeugendensystem von 
: Für ein Element 
gilt ja 
in 
und damit
in 
.
