Noetherscher Ring/Kommutativ/Restklassenring/Noethersch/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei  $𝔞\subseteq R/𝔟$  ein Ideal und sei  $\widetilde{𝔞}\subseteq R$  das Urbildideal davon. Dieses ist endlich erzeugt nach Voraussetzung, also  $\widetilde{𝔞}=(f_1,\dots ,f_n)$.  Die Restklassen dieser Erzeuger, also ${\overline{f}}_1,\dots ,{\overline{f}}_n$, bilden ein Idealerzeugendensystem von $𝔞$: Für ein Element  $\overline{g}\in 𝔞$  gilt ja  $g=\sum _{i=1}^n{r}_i{f}_i$  in $R$ und damit  $\overline{g}=\sum _{i=1}^n{\overline{r}}_i{\overline{f}}_i$  in $R/𝔟$.

Zur bewiesenen Aussage