Noethersches Schema/Noetherscher Raum/Fakt/Beweis

Beweis

Eine endliche Vereinigung von noetherschen Räumen ist wieder noethersch, deshalb können wir direkt davon ausgehen, dass ein Spektrum zu einem noetherschen Ring vorliegt. Wir müssen gemäß Fakt zeigen, dass eine jede offene Teilmenge ${}U=D({\mathfrak {a}})\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ quasikompakt ist. Da ${}R$ noethersch ist, gilt ${}{\mathfrak {a}}={\left(f_{1},\ldots ,f_{n}\right)}$ und daher

${}D({\mathfrak {a}})=D(f_{1})\cup \ldots \cup D(f_{n})\,$

nach Fakt  (2). Nach Fakt in Verbindung mit Fakt sind die ${}D(f_{i})$ quasikompakt, also auch ihre endliche Vereinigung.

Zur bewiesenen Aussage