Noethersches Schema/Quasikohärente Garbe/Invertierbare Garbe/Invertierbarkeitsort/Globale Ausdehnung/Fakt

Ausdehnungssatz für quasikohärente Moduln

Es sei ${}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf einem noetherschen Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$,  ${}g\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$  ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort ${}X_{g}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem globalen Schnitt  ${}r\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$  mit  ${}r{|}_{X_{g}}=0$  gibt es ein  ${}m\in \mathbb {N}$  mit  ${}g^{m}r=0$  in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}^{m}\otimes {\mathcal {M}}\right)}$.
2. Zu einem Schnitt  ${}s\in \Gamma {\left(X_{g},{\mathcal {M}}\right)}$  gibt es ein  ${}n\in \mathbb {N}$  derart, dass

   ${}g^{n}s\in \Gamma {\left(X_{g},{\mathcal {L}}^{n}\otimes {\mathcal {M}}\right)}\,$

   von einem globalen Schnitt aus ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}^{n}\otimes {\mathcal {M}}\right)}$ herrührt.

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