Noethersches Schema/Quasikohärente Garbe/Invertierbare Garbe/Invertierbarkeitsort/Globale Ausdehnung/Fakt

Ausdehnungssatz für quasikohärente Moduln

Es sei ${}{\mathcal {M}}$ ein quasikohärenter ${}{\mathcal {O}}_{X}$-Modul auf einem noetherschen Schema ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$. Es sei ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$, ${}g\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}\right)}$ ein globaler Schnitt mit dem Invertierbarkeitsort ${}X_{g}$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem globalen Schnitt ${}r\in \Gamma {\left(X,{\mathcal {M}}\right)}$ mit ${}r{|}_{X_{g}}=0$ gibt es ein ${}m\in \mathbb {N}$ mit ${}g^{m}r=0$ in ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}^{m}\otimes {\mathcal {M}}\right)}$.
2. Zu einem Schnitt ${}s\in \Gamma {\left(X_{g},{\mathcal {M}}\right)}$ gibt es ein ${}n\in \mathbb {N}$ derart, dass

   ${}g^{n}s\in \Gamma {\left(X_{g},{\mathcal {L}}^{n}\otimes {\mathcal {M}}\right)}\,$

   von einem globalen Schnitt aus ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {L}}^{n}\otimes {\mathcal {M}}\right)}$ herrührt.

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