Noethersches normales integres Schema/Hauptdivisor/Endlich/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}U\subseteq X$ eine nichtleere offene affine Teilmenge mit

${}f\in R=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})\,.$

Da der generische Punkt von ${}X$ zu ${}U$ gehört, sind die Primdivisoren, die ${}U$ nicht treffen, irreduzible Komponenten von ${}X\setminus U$. Da ${}X\setminus U$ eine abgeschlossene Teilmenge von ${}X$ und damit noethersch ist, gibt es dort nur endlich viele Komponenten. D.h. wir müssen nur noch diejenigen Primdivisoren betrachten, die ${}U$ treffen. Deren generische Punkte entsprechen dann Primidealen der Höhe ${}1$ von ${}R$. Es ist

${}\operatorname {ord} _{Y}\,(f)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 0\,$

und dies ist nur dann positiv, wenn ${}f\in {\mathfrak {p}}$ ist. Die Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ der Höhe ${}1$ oberhalb von ${}f$ sind die minimalen Primideale von ${}R/(f)$, und wegen noethersch gibt es davon nur endlich viele.

Zur bewiesenen Aussage