Normale Körpererweiterung/Nicht transitiv/sqrt(3) und sqrt(1+sqrt(3))/Beispiel

Wir betrachten die Körperkette ${}\mathbb {Q} \subseteq M\subseteq L$, wobei ${}M=\mathbb {Q} ({\sqrt {3}})$ und ${}L=M({\sqrt {1+{\sqrt {3}}}})$ ist. Das sind zwei quadratische Körpererweiterungen, die beide nach Fakt  (2) normal sind. Wir setzen ${}u={\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}$, und dieses Element erzeugt ${}L$ über ${}\mathbb {Q}$. Wir können ${}L$ als einen Unterkörper von ${}\mathbb {R}$ auffassen, indem wir für ${}{\sqrt {3}}$ und dann für ${}{\sqrt {1+{\sqrt {3}}}}$ die positiven reellen Wurzeln wählen. Wir haben

${}u^{4}-2u^{2}-2=(u^{2}-1)^{2}-3=0\,,$

d.h. das Polynom ${}X^{4}-2X^{2}-2$ wird von ${}u$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über ${}L$ die Zerlegung

${}{\begin{aligned}X^{4}-2X^{2}-2&={\left(X^{2}-1\right)}^{2}-3\\&={\left(X^{2}-1-{\sqrt {3}}\right)}{\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}\\&={\left(X^{2}-u^{2}\right)}{\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}\\&=(X-u)(X+u){\left(X^{2}-1+{\sqrt {3}}\right)}.\end{aligned}}$

Wegen ${}L\subseteq \mathbb {R}$ und ${}{\sqrt {3}}-1>0$ ist das hintere quadratische Polynom über ${}L$ unzerlegbar. Dieses Polynom zerfällt also über ${}L$ nicht in Linearfaktoren und somit ist ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ nicht normal.