Normale Körpererweiterung/Nicht transitiv/sqrt(3) und sqrt(1+sqrt(3))/Beispiel

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Wir betrachten die Körperkette , wobei und ist. Das sind zwei quadratische Körpererweiterungen, die beide nach Fakt  (2) normal sind. Wir setzen , und dieses Element erzeugt über . Wir können als einen Unterkörper von auffassen, indem wir für und dann für die positiven reellen Wurzeln wählen. Wir haben

d.h. das Polynom wird von annulliert. Dieses Polynom besitzt über die Zerlegung

Wegen und ist das hintere quadratische Polynom über unzerlegbar. Dieses Polynom zerfällt also über nicht in Linearfaktoren und somit ist nicht normal.