Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie

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Definition von Metriken[Bearbeiten]

Für das unten angegebene Quiz werden die folgenden Metriken verwendet.

Diskrete Topologie[Bearbeiten]

Gegeben ist die diskrete Topologie auf den reellen Zahlen . Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

  

Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus.

Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik erzeugt diese Topologie (Definition siehe oben)
Der offene Kern der Menge ist die Menge .
Sei eine Folge in , für die ein existiert mit für . Dann konvergiert die Folge gegen in (formal: ).
Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist eine offene Menge in der diskreten Topologie.
Die diskrete Topologie ist nicht metrisierbar.
Sei eine Folge, die in gegen konvergiert (formal: ), dann gibt es ein mit für alle .
Sei eine Folge in , für die ein existiert, mit für . Dann konvergiert die Folge gegen in (formal: ).
Der Abschluss der Menge ist die Menge .
Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik erzeugt diese Topologie (Definition siehe oben)
Der offene Kern der Menge ist die Menge .
Der offene Kern der Menge ist die leere Menge Menge .
Der offene Kern der Menge ist die leere Menge Menge .
Das Intervall ist eine offene Menge in der diskreten Topologie.
Sei eine beliebige Menge von reellen Zahlen, dann gilt in der diskreten Topologie.
Der Abschluss der Menge ist die Menge .
Der Abschluss der Menge ist die Menge .
Der Abschluss der Menge ist die Menge .
Sei eine Folge, die in gegen konvergiert (formal: ), dann gibt es ein mit für alle .
Die diskrete Topologie ist Hausdorffsch.
Das Intervall ist eine abgeschlossene Menge in der diskreten Topologie.
Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik, die die Topologie erzeugt ist (Definition siehe oben)
Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist eine abgeschlossene Menge in der diskreten Topologie.
Sei ein beliebige Folge und , dann konvergiert die Folge gegen (formal: ).
Das Intervall besitzt keine Randpunkte in der diskreten Topologie.
Der Abschluss der Menge ist die Menge .
Die Randpunkte der Menge sind Punkte und in der diskreten Topologie.
Der offene Kern der Menge ist die Menge .


Chaotische Topologie[Bearbeiten]

Gegeben ist die chaotische Topologie mit auf den reellen Zahlen . Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

  

Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus.

Der Abschluss der Menge ist die Menge .
Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist eine offene Menge in der chaotischen Topologie.
Sei eine beliebige Menge von reellen Zahlen, dann gilt in der chaotischen Topologie.
Der offene Kern der Menge ist die leere Menge Menge .
Der offene Kern der Menge ist die Menge .
Der offene Kern der Menge ist die Menge .
Die chaotische Topologie ist metrisierbar und die Metrik ist über (Definition siehe oben)
Jede Teilmenge der reellen Zahlen ist eine abgeschlossene Menge in der chaotischen Topologie.
Das Intervall besitzt keine Randpunkte in der diskreten Topologie.
Der Abschluss der Menge ist die Menge .
Das Intervall ist eine offene Menge in der chaotischen Topologie..
Sei , für die für gilt. Dann konvergiert die Folge gegen (formal: .
Die chaotische Topologie ist nicht metrisierbar.
Der offene Kern der Menge ist die leere Menge Menge .
Der Abschluss der Menge ist die Menge .
Die chaotische Topologie ist metrisierbar und die Metrik, die die Topologie erzeugt ist (Definition siehe oben)
Der offene Kern der Menge ist die Menge .
Die chaotische Topologie ist Hausdorffsch.
Das Intervall ist eine abgeschlossene Menge in der chaotischen Topologie.
Der Abschluss der Menge ist die Menge .
Der Abschluss der Menge ist die Menge .
Sei ein beliebige Folge und , dann konvergiert die Folge gegen (formal: .
Die Randpunkte der Menge sind Punkte und in der chaotischen Topologie.


Endliche Topologien[Bearbeiten]

Sei gegeben mit

  • .

Die folgenden Fragen beziehen sich auf mit einem bestimmte . Dabei untersuchen Sie die oben definierte Grundmenge mit einem Mengensystem .

  

Wählen Sie alle korrekten Aussagen aus.

ist ein topologischer Raum,
ist ein topologischer Raum,
ist ein topologischer Raum,
ist ein topologischer Raum,
ist ein topologischer Raum,
ist ein topologischer Raum,
ist ein topologischer Raum,
Für das Mengensystem kann man mit genau einer Teilmenge von erweitern, damit das erweiterte Mengesystem auf wird.
Für das Mengensystem fehlen genau zwei Teilmengen von , damit das erweiterte Mengesystem ein topologischer Raum ist und ein minimale Erweiterung von ist.
Für das Mengensystem fehlen genau drei Teilmengen von , damit das erweiterte Mengesystem ein topologischer Raum ist und ein minimale Erweiterung von ist.
Der Abschluss der Menge ist .
Der offene Kern der Menge ist .
Der Abschluss der Menge ist .
Die Menge ist in dem topologischen Raum eine offene Menge.
Die Menge ist in dem topologischen Raum eine abgeschlossene Menge.
Der Abschluss der Menge ist in dem topologischen Raum .
Der Abschluss der Menge ist in dem topologischen Raum eine abgeschlossene Menge.
Der Abschluss der Menge ist in dem topologischen Raum .
Der Abschluss der Menge ist in dem topologischen Raum .
Der offene Kern der Menge ist in dem topologischen Raum .
Der offene Kern der Menge ist in dem topologischen Raum .
Der offene Kern der Menge ist in dem topologischen Raum .
Der offene Kern der Menge ist in dem topologischen Raum .


Bemerkung[Bearbeiten]

Begründen Sie Ihre jeweils Ihre Antworten. Nach dem Absenden der Anworten sehen Sie, welche Antworten korrekt sind bzw. nicht korrekt beantwortet wurden. Ggf. können Sie dieses auch als Hilfe verwenden, um die Begründung für Ihre Antworten noch einmal zu überdenken.

Siehe auch[Bearbeiten]