Normen, Metriken, Topologie/Quiz zur Topologie

Definition von Metriken

Für das unten angegebene Quiz werden die folgenden Metriken verwendet.

$d_{1}:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{o}^{+}\qquad d_{1}(x,y)={\begin{cases}1&x\not =y\\0&x=y\\\end{cases}}$
$d_{2}:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{o}^{+}\qquad d_{2}(x,y)=|x-y|$

Diskrete Topologie

Gegeben ist die diskrete Topologie $(\mathbb {R} ,d_{1})$ auf den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ . Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

Chaotische Topologie

Gegeben ist die chaotische Topologie $(\mathbb {R} ,\tau )$ mit $\tau :=\{\emptyset ,\mathbb {R} \}$ auf den reellen Zahlen $\mathbb {R}$ . Die folgenden Fragen beziehen sich auf diese Topologie.

Endliche Topologien

Sei $(X,\tau _{k})$ gegeben mit

$k=0,1,\ldots ,6$
$X:=\{a,b,c,d,e,f\}$
$\tau _{0}:={\big \{}\emptyset ,X{\big \}}$
$\tau _{1}:={\big \{}\emptyset ,X,\{a,b,c\}{\big \}}$
$\tau _{2}:={\big \{}\emptyset ,X,\{a,b,c\},\{d,e,f\}{\big \}}$
$\tau _{3}:={\big \{}\emptyset ,X,\{a,b,c\},\{c,d,e\}{\big \}}$
$\tau _{4}:={\big \{}\emptyset ,X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\}{\big \}}$
$\tau _{5}:={\big \{}\emptyset ,X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\},\{a,b,c,d,e\}{\big \}}$
$\tau _{6}:={\big \{}\emptyset ,X,\{c\},\{a,b,c\},\{c,d,e\},\{a,b,c,d,e\},\{f\}{\big \}}$ .

Die folgenden Fragen beziehen sich auf $(X,\tau _{k})$ mit einem bestimmte $k=1,\ldots ,6$ . Dabei untersuchen Sie die oben definierte Grundmenge $X$ mit einem Mengensystem $\tau _{k}$ .

Bemerkung

Begründen Sie Ihre jeweils Ihre Antworten. Nach dem Absenden der Anworten sehen Sie, welche Antworten korrekt sind bzw. nicht korrekt beantwortet wurden. Ggf. können Sie dieses auch als Hilfe verwenden, um die Begründung für Ihre Antworten noch einmal zu überdenken.

Siehe auch

	Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die Menge $(a,b)$ .
	Jede Teilmenge $M$ der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist eine offene Menge in der diskreten Topologie.
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein beliebige Folge und $x_{o}\in \mathbb {R}$ , dann konvergiert die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x_{o}$ (formal: ${\stackrel {\tau }{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$ ).
	Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $\mathbb {R}$ .
	Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die leere Menge Menge $\emptyset$ .
	Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik $d_{1}$ erzeugt diese Topologie (Definition siehe oben)
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge, die in $(\mathbb {R} ,d_{1})$ gegen $x_{o}\in \mathbb {R}$ konvergiert (formal: ${\stackrel {d_{1}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$ ), dann gibt es ein $n_{o}\in \mathbb {N}$ mit $x_{n}=x_{o}$ für alle $n\geq n_{o}\in \mathbb {N}$ .
	Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $[a,b]$ .
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge, die in $(\mathbb {R} ,d_{2})$ gegen $x_{o}\in \mathbb {R}$ konvergiert (formal: ${\stackrel {d_{2}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$ ), dann gibt es ein $n_{o}\in \mathbb {N}$ mit $x_{n}=x_{o}$ für alle $n\geq n_{o}\in \mathbb {N}$ .
	Die Randpunkte der Menge $[a,b]$ sind Punkte $a$ und $b$ in der diskreten Topologie.
	Die diskrete Topologie ist nicht metrisierbar.
	Das Intervall $[a,b]$ ist eine offene Menge in der diskreten Topologie.
	Das Intervall $[a,b]$ besitzt keine Randpunkte in der diskreten Topologie.
	Das Intervall $[a,b]$ ist eine abgeschlossene Menge in der diskreten Topologie.
	Der offene Kern der Menge $[a,b]$ ist die Menge $(a,b)$ .
	Der offene Kern der Menge $[a,b]$ ist die Menge $\mathbb {R}$ .
	Der Abschluss der Menge $(a,b)$ ist die Menge $[a,b]$ .
	Die diskrete Topologie ist Hausdorffsch.
	Der Abschluss der Menge $(a,b)$ ist die Menge $\mathbb {R}$ .
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $\mathbb {R}$ , für die ein $n_{o}\in \mathbb {N}$ existiert mit $x_{n}=x_{o}$ für $n\geq n_{o}\in \mathbb {N}$ . Dann konvergiert die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x_{o}\in \mathbb {R}$ in $(\mathbb {R} ,d_{2})$ (formal: ${\stackrel {d_{2}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$ ).
	Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $\mathbb {R}$ .
	Jede Teilmenge $M$ der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist eine abgeschlossene Menge in der diskreten Topologie.
	Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die leere Menge Menge $\mathbb {R}$ .
	Sei $M\subset \mathbb {R}$ eine beliebige Menge von reellen Zahlen, dann gilt $\partial M=\emptyset$ in der diskreten Topologie.
	Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik $d_{2}$ erzeugt diese Topologie (Definition siehe oben)
	Die diskrete Topologie ist metrisierbar und die Metrik, die die Topologie erzeugt ist $d_{1}$ (Definition siehe oben)
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in $\mathbb {R}$ , für die ein $n_{o}\in \mathbb {N}$ existiert, mit $x_{n}=x_{o}$ für $n\geq n_{o}\in \mathbb {N}$ . Dann konvergiert die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x_{o}\in \mathbb {R}$ in $(\mathbb {R} ,d_{1})$ (formal: ${\stackrel {d_{1}}{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$ ).

	Der offene Kern der Menge $[a,b]$ ist die Menge $\mathbb {R}$ .
	Sei $M\subset \mathbb {R}$ eine beliebige Menge von reellen Zahlen, dann gilt $\partial M=\emptyset$ in der chaotischen Topologie.
	Das Intervall $[a,b]$ ist eine offene Menge in der chaotischen Topologie..
	Der Abschluss der Menge $(a,b)$ ist die Menge $\mathbb {R}$ .
	Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die leere Menge Menge $\mathbb {R}$ .
	Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $\mathbb {R}$ .
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ein beliebige Folge und $x_{o}\in \mathbb {R}$ , dann konvergiert die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x_{o}$ (formal: ${\stackrel {\tau }{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$ .
	Die Randpunkte der Menge $[a,b]$ sind Punkte $a$ und $b$ in der chaotischen Topologie.
	Der Abschluss der Menge $(a,b)$ ist die Menge $[a,b]$ .
	Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die Menge $(a,b)$ .
	Die chaotische Topologie ist metrisierbar und die Metrik, die die Topologie erzeugt ist $d_{1}$ (Definition siehe oben)
	Die chaotische Topologie ist metrisierbar und die Metrik ist über $d_{2}$ (Definition siehe oben)
	Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ , für die $x_{n}=x_{o}$ für $n\geq n_{o}\in \mathbb {N}$ gilt. Dann konvergiert die Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegen $x_{o}\in \mathbb {R}$ (formal: ${\stackrel {\tau }{\displaystyle \lim _{n\to \infty }}}x_{n}=x_{o}$ .
	Das Intervall $[a,b]$ ist eine abgeschlossene Menge in der chaotischen Topologie.
	Die chaotische Topologie ist nicht metrisierbar.
	Jede Teilmenge $M$ der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist eine offene Menge in der chaotischen Topologie.
	Der offene Kern der Menge $(a,b)$ ist die leere Menge Menge $\emptyset$ .
	Jede Teilmenge $M$ der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ ist eine abgeschlossene Menge in der chaotischen Topologie.
	Das Intervall $[a,b]$ besitzt keine Randpunkte in der diskreten Topologie.
	Die chaotische Topologie ist Hausdorffsch.
	Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $\mathbb {R}$ .
	Der Abschluss der Menge $[a,b]$ ist die Menge $[a,b]$ .
	Der offene Kern der Menge $[a,b]$ ist die Menge $(a,b)$ .

	$(X,\tau _{0})$ ist ein topologischer Raum,
	$(X,\tau _{1})$ ist ein topologischer Raum,
	$(X,\tau _{2})$ ist ein topologischer Raum,
	$(X,\tau _{3})$ ist ein topologischer Raum,
	$(X,\tau _{4})$ ist ein topologischer Raum,
	$(X,\tau _{5})$ ist ein topologischer Raum,
	$(X,\tau _{6})$ ist ein topologischer Raum,
	Für das Mengensystem $\tau _{6}$ kann man mit genau einer Teilmenge von $X$ erweitern, damit das erweiterte Mengesystem ${\widetilde {\tau _{6}}}$ auf $X$ wird.
	Für das Mengensystem $\tau _{6}$ fehlen genau zwei Teilmengen von $X$ , damit das erweiterte Mengesystem ${\widetilde {\tau _{6}}}$ ein topologischer Raum ist und ${\widetilde {\tau _{6}}}$ ein minimale Erweiterung von ${\widetilde {\tau _{6}}}$ ist.
	Für das Mengensystem $\tau _{6}$ fehlen genau drei Teilmengen von $X$ , damit das erweiterte Mengesystem ${\widetilde {\tau _{6}}}$ ein topologischer Raum ist und ${\widetilde {\tau _{6}}}$ ein minimale Erweiterung von ${\widetilde {\tau _{6}}}$ ist.
	Der Abschluss der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{a,b,c\}$ .
	Der offene Kern der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{a,b,c\}$ .
	Der Abschluss der Menge $\{a,b,c\}$ ist $X$ .
	Die Menge $\{a,b,c,\}$ ist in dem topologischen Raum $(X,\tau _{1})$ eine offene Menge.
	Die Menge $\{a,b,c,\}$ ist in dem topologischen Raum $(X,\tau _{1})$ eine abgeschlossene Menge.
	Der Abschluss der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{a,b,c,d\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$ .
	Der Abschluss der Menge $\{a,b\}$ ist $\{a,b,f\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$ eine abgeschlossene Menge.
	Der Abschluss der Menge $\{a\}$ ist $\{a,b,f\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$ .
	Der Abschluss der Menge $\{b\}$ ist $\{a,b,f\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$ .
	Der offene Kern der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{a,b,c,d\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$ .
	Der offene Kern der Menge $\{a,b,c,d\}$ ist $\{a,b,c\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$ .
	Der offene Kern der Menge $\{a,b,c\}$ ist $\{b\}$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$ .
	Der offene Kern der Menge $\{a,b\}$ ist $\emptyset$ in dem topologischen Raum $(X,\tau _{5})$ .

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