Normen, Metriken, Topologie

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Intro

Topologischer Raum[Bearbeiten]

Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Durch die Einführung einer topologischen Struktur auf einer Menge lassen sich

  • intuitive Lagebeziehungen wie „Nähe“ und
  • „Konvergenz gegen“ aus den reellen Zahlen bzw. aus dem

auf viele und sehr allgemeine Strukturen übertragen (wie z.B. die Topologie von Funktionenräumen).

Topologie allgemein

Definition: Topologie[Bearbeiten]

Eine Topologie ist ein Mengensystem bestehend aus Teilmengen (offene Mengen genannt) einer Grundmenge , für die die folgenden Axiome erfüllt sind

  • (T1)
  • (T2) für alle .
  • (T3) Für eine beliebige Indexmenge und für alle gilt: .

Eine Menge zusammen mit einer Topologie auf heißt topologischer Raum .

Definition Topologie

Beispiel: Topologie auf Texten[Bearbeiten]

In der Regel geht man davon aus, dass Topologien auf mathematischen Objekten definiert werden (z.B. Zahlenräume, Funktionenräume, (topologische) Gruppen, Vektorräume, ...). Die Allgemeinheit der Definition macht es aber auch möglich, eine Topologie auf Texten zu definieren. Dieses Beispiel wurde ergänzt, weil rein anschaulich z.B. Texte in der deutschen Sprache

  • eine ähnliche Aussage haben können und
  • unterschiedliche Wörter verwenden.

Diese Ähnlichkeit der Semantik oder auch Syntax wird als Übung in "Topologie auf Texten" näher untersucht.

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Hierarchie Topologischer Räume

Hierarchie Topologischer Räume

Bedeutung: Notation Topologie[Bearbeiten]

  • (T1) leere Menge und die Grundmenge sind offene Mengen
  • (T2) für alle : Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
  • (T3) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wieder eine offene Menge.

Semantik: Metrik[Bearbeiten]

Eine Metrik ordnet mit zwei Elementen aus einem Grundraum den Abstand zwischen und zu.

Definition: Metrik[Bearbeiten]

Sei eine beliebige Menge. Eine Abbildung heißt Metrik auf , wenn für beliebige Elemente , und von die folgenden Axiome erfüllt sind:

  • (M1) Trennung: ,
  • (M2) Symmetrie: ,
  • (M3) Dreiecksungleichung: .

Veranschaulichung: Metrik Dreiecksungleichung[Bearbeiten]

Nach der Dreiecksungleichung ist der Abstand zwischen zwei Punkten X,Y höchstens so groß wie Summe der Abstände von X zu Z und von Z zu Y, also einem Umweg über den Punkt Z

Nicht-Negativität[Bearbeiten]

Aus den drei Eigenschaften der Metrik folgt die Nicht-Negativität, d.h. für alle gilt. . Die Nicht-Negativität folgt aus den anderen Eigenschaften mit:

Offene Mengen in metrischen Räumen[Bearbeiten]

  • In einem metrische Raum definiert man eine Menge als offen (d.h. ), wenn es zu jedem ein gibt, dass die -Kugel ganz in liegt (d.h. )
  • Zeigen Sie, dass mit diesem definierten das Paar ein topologischer Raum ist (d.h. (T1), (T2), (T3) erfüllt).

Norm auf Vektorräumen[Bearbeiten]

Eine Norm ist eine Abbildung von einem Vektorraum über dem Körper der reellen oder der komplexen Zahlen in die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen . Dabei ordnet die Norm jedem Vektor seine Länge zu.

Definition: Norm[Bearbeiten]

Sei ein -Vektorraum und eine Abbildung Erfüllt die folgenden Axiome Axiome N1,N2, N3, so heißt Norm auf .

  • (N1) Definitheit: für alle ,
  • (N2) absolute Homogenität: für alle und
  • (N3) Dreiecksungleichung: für alle .

Normierter Raum / Metrischer Raum[Bearbeiten]

Ein normierter Raum ist zugleich auch ein metrischer Raum.

  • Ein Norm ordnet einem Vektor seine Vektorlänge zu.
  • Mit der Norm kann man über eine Metrik definieren.
  • Zeigen Sie, dass die so definierte Abbildung die Eigenschaften einer Metrik erfüllt.

Notation: Norm[Bearbeiten]

  • In dem Axiom (N2) bezeichnet den Betrag des Skalars. ""-Zeichen: Äußere Verknüpfung im Vektorraum bzw. Multiplikation .
  • gibt die Länge des Vektors an.
  • In (N3) für alle . ""-Zeichen bezeichnet zwei unterschiedliche Verknüpfungen (d.h. Addition in bzw.

Veranschaulichung: Norm Dreiecksungleichung[Bearbeiten]

Nach der Dreiecksungleichung ist die Länge der Summe zweier Vektoren höchstens so groß wie die Summe der Längen der einzelnen Vektoren

Def: Konvergenz im normierten Raum[Bearbeiten]

Sei ein normierter Raum und eine Folge in und :

audio15_def_konvergenz_norm.ogg

Def: Konvergenz im metrischen Raum[Bearbeiten]

Sei ein metrischer Raum und eine Folge in und :

Äquivalenz: Normen[Bearbeiten]

Seien zwei Normen und auf dem -Vektorraum gegeben. Die beiden Normen sind äquivalent, wenn gilt:

Zeigen Sie, dass eine Folge genau dann in konvergiert, wenn es auch bzgl. konvergiert.

audio17_aequivalenz_normen.ogg

Betrag in komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Sei eine komplexe Zahl mit . Zeigen Sie, dass eine Norm auf dem -Vektorraum ist!

audio18_norm_komplexe_zahlen.ogg

Historische Anmerkung: Norm[Bearbeiten]

Diese axiomatische Definition der Norm wurde von Stefan Banach 1922 in seiner Dissertation aufgestellt Das heute übliche Normsymbol wurde erstmals von Erhard Schmidt 1908 als Abstand zwischen Vektoren und verwendet.

Seiten-Information[Bearbeiten]

Der Foliensatz wurde für den Kurs:Funktionalanalysis mit Wiki2Reveal über den Linkgenerator erstellt.