Normen, Metriken, Topologie

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Audiokommentierte Folien - Wiki2Reveal[Bearbeiten]

Diese Wikiversityseite ist als Foliensatz für Wiki2Reveal erstellt worden. Diese Präsentation wird in den Kursen:

verwendet (siehe Wiki2Reveal).

Intro

Topologischer Raum[Bearbeiten]

Ein Topologischer Raum ist der grundlegende Gegenstand der Teildisziplin Topologie der Mathematik. Durch die Einführung einer topologischen Struktur auf einer Menge lassen sich

  • intuitive Lagebeziehungen wie „Nähe“ und
  • „Konvergenz gegen“ aus den reellen Zahlen bzw. aus dem

auf viele und sehr allgemeine Strukturen übertragen (wie z.B. die Topologie von Funktionenräumen).

Topologie allgemein

Definition: Topologie[Bearbeiten]

Eine Topologie ist ein Mengensystem bestehend aus Teilmengen (offene Mengen genannt) einer Grundmenge , für die die folgenden Axiome erfüllt sind

  • (T1)
  • (T2) für alle .
  • (T3) Für eine beliebige Indexmenge und für alle gilt: .

Eine Menge zusammen mit einer Topologie auf heißt topologischer Raum .

Definition Topologie

Beispiel: Topologie auf Texten[Bearbeiten]

In der Regel geht man davon aus, dass Topologien auf mathematischen Objekten definiert werden (z.B. Zahlenräume, Funktionenräume, (topologische) Gruppen, Vektorräume, ...). Die Allgemeinheit der Definition macht es aber auch möglich, eine Topologie auf Texten zu definieren. Dieses Beispiel wurde ergänzt, weil rein anschaulich z.B. Texte in der deutschen Sprache

  • eine ähnliche Aussage haben können und
  • unterschiedliche Wörter verwenden.

Diese Ähnlichkeit der Semantik oder auch Syntax wird als Übung in "Topologie auf Texten" näher untersucht.

Klassifikation topologischer Räume[Bearbeiten]

Hierarchie Topologischer Räume

Hierarchie Topologischer Räume

Bedeutung: Notation Topologie[Bearbeiten]

  • (T1) leere Menge und die Grundmenge sind offene Mengen
  • (T2) für alle : Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist eine offene Menge.
  • (T3) Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wieder eine offene Menge.

Semantik: Metrik[Bearbeiten]

Eine Metrik ordnet mit zwei Elementen aus einem Grundraum den Abstand zwischen und zu.

Definition: Metrik[Bearbeiten]

Sei eine beliebige Menge. Eine Abbildung heißt Metrik auf , wenn für beliebige Elemente , und von die folgenden Axiome erfüllt sind:

  • (M1) Trennung: ,
  • (M2) Symmetrie: ,
  • (M3) Dreiecksungleichung: .

Veranschaulichung: Metrik Dreiecksungleichung[Bearbeiten]

Nach der Dreiecksungleichung ist der Abstand zwischen zwei Punkten X,Y höchstens so groß wie Summe der Abstände von X zu Z und von Z zu Y, also einem Umweg über den Punkt Z

Nicht-Negativität[Bearbeiten]

Aus den drei Eigenschaften der Metrik folgt die Nicht-Negativität, d.h. für alle gilt. . Die Nicht-Negativität folgt aus den anderen Eigenschaften mit:

Offene Mengen in metrischen Räumen[Bearbeiten]

  • In einem metrische Raum definiert man eine Menge als offen (d.h. ), wenn es zu jedem ein gibt, dass die -Kugel ganz in liegt (d.h. )
  • Zeigen Sie, dass mit diesem definierten das Paar ein topologischer Raum ist (d.h. (T1), (T2), (T3) erfüllt).

Norm auf Vektorräumen[Bearbeiten]

Eine Norm ist eine Abbildung von einem Vektorraum über dem Körper der reellen oder der komplexen Zahlen in die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen . Dabei ordnet die Norm jedem Vektor seine Länge zu.

Definition: Norm[Bearbeiten]

Sei ein -Vektorraum und eine Abbildung Erfüllt die folgenden Axiome Axiome N1,N2, N3, so heißt Norm auf .

  • (N1) Definitheit: für alle ,
  • (N2) absolute Homogenität: für alle und
  • (N3) Dreiecksungleichung: für alle .

Bemerkung: N1 - Äquivalenz[Bearbeiten]

Das Eigenschaft (N1) ist eigentlich eine Äquivalenz und es gilt in jedem normierten Raum ( ist der Nullvektor in und ist die Null im Körper , wenn ein -Vektorraum ist).

  • (N1)' Definitheit: für alle ,
  • Da man für Definitionen ein Minimalitätsprinzip für die definierenden Eigenschaft verwendet, würde man keine stärkere Formulierung (N1)' in der Definition für (N1) verwenden, da die Äquivalenz aus den definierenden Eigenschaften der Norm den Eigenschaften des Vektorraumes bereits für jeden normierten Raum folgen.

Normierter Raum / Metrischer Raum[Bearbeiten]

Ein normierter Raum ist zugleich auch ein metrischer Raum.

  • Ein Norm ordnet einem Vektor seine Vektorlänge zu.
  • Mit der Norm kann man über eine Metrik definieren.
  • Zeigen Sie, dass die so definierte Abbildung die Eigenschaften einer Metrik erfüllt.

Notation: Norm[Bearbeiten]

  • In dem Axiom (N2) bezeichnet den Betrag des Skalars. ""-Zeichen: Äußere Verknüpfung im Vektorraum bzw. Multiplikation .
  • gibt die Länge des Vektors an.
  • In (N3) für alle . ""-Zeichen bezeichnet zwei unterschiedliche Verknüpfungen (d.h. Addition in bzw.

Veranschaulichung: Norm Dreiecksungleichung[Bearbeiten]

Nach der Dreiecksungleichung ist die Länge der Summe zweier Vektoren höchstens so groß wie die Summe der Längen der einzelnen Vektoren

Def: Konvergenz im normierten Raum[Bearbeiten]

Sei ein normierter Raum und eine Folge in und :

audio15_def_konvergenz_norm.ogg

Def: Konvergenz im metrischen Raum[Bearbeiten]

Sei ein metrischer Raum und eine Folge in und :

Def: Cauchy-Folgen in metrischen Räumen[Bearbeiten]

Sei ein metrischer Raum und eine Folge in . heißt Cauchy-Folge in :

Äquivalenz: Normen[Bearbeiten]

Seien zwei Normen und auf dem -Vektorraum gegeben. Die beiden Normen sind äquivalent, wenn gilt:

Zeigen Sie, dass eine Folge genau dann in konvergiert, wenn es auch bzgl. konvergiert.

audio17_aequivalenz_normen.ogg

Betrag in komplexen Zahlen[Bearbeiten]

Sei eine komplexe Zahl mit . Zeigen Sie, dass eine Norm auf dem -Vektorraum ist!

audio18_norm_komplexe_zahlen.ogg

Historische Anmerkung: Norm[Bearbeiten]

Diese axiomatische Definition der Norm wurde von Stefan Banach 1922 in seiner Dissertation aufgestellt Das heute übliche Normsymbol wurde erstmals von Erhard Schmidt 1908 als Abstand zwischen Vektoren und verwendet.

Aufgaben[Bearbeiten]

In den folgenden Aufgaben geht es darum, definierende Eigenschaften einer Norm, einer Metrik oder allgemein eines topologischen Raumes nachzuweisen.

Aufgabe: Normierte Räume[Bearbeiten]

Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung auf mit als Menge der stetigen Abbildungen von dem Intervall nach eine Metrik ist.

mit

Weisen Sie also die 3 Eigenschaften einer Metrik nach. Berechnen Sie dann den Abstand zwischen den beiden Funktionen und mit und mit !

Aufgabe: Topologische Räume[Bearbeiten]

Betrachten Sie als Grundmenge des toplogischen Raumes das Intervall und die Mengen , die die Topologie enthalten soll. Erweitern Sie die Erzeugermenge minimal mit weiteren Menge, damit mit zu einem topologischen Raum wird.

  • besteht aus 3 offenen Intervallen
  • besteht aus 2 offenen Intervallen
  • , wobei der Erzeuger der Topologie alle Einpunktmengen aus enthalten soll.

Siehe auch[Bearbeiten]

Seiteninformation[Bearbeiten]

Diese Lernresource wurde als Wiki2Reveal Foliensatz erstellt.

Wiki2Reveal[Bearbeiten]

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Funktionalanalysis' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

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