Normiertes Polynom über Z/Grad maximal 3 ohne Nullstelle/Irreduzibel/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund von Fakt und der Gradvoraussetzung genügt es zu zeigen, dass es keine Faktorzerlegung ${}F=GH$ in ${}\mathbb {Z} [X]$ mit ${}\operatorname {grad} \,(G)=1$ geben kann.  Es sei also angenommen, dass ${}G=aX+b\in \mathbb {Z} [X]$ ein Teiler von ${}F$ ist. Der Leitkoeffizient ${}a$ teilt den Leitkoeffizienten von ${}F$, also ${}1$, daher muss ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit sein. Dann ist ${}a=\pm 1$ und somit ist ${}\pm b$ eine Nullstelle im Widerspruch zur Voraussetzung.

Zur bewiesenen Aussage