Nullstellenfreies Polynom/C/Dritte Wurzel/Beispiel

Wir betrachten das Polynom

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto z^{3}-5z^{2}+4z-1.$

Es gilt  ${}f(2)=-5$,  daher können wir Fakt anwenden, beispielsweise für die dritte Wurzel. Es gibt also eine offene Umgebung  ${}2\in V$  und eine holomorphe Funktion ${}h\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit  ${}h^{3}=f$.  In einem gewissen Sinn ist also

${}h={\sqrt[{3}]{f}}\,,$

wobei man aber immer beachten muss, dass dadurch ${}h$ nicht eindeutig festgelegt ist.