Numerische Halbgruppen/Teilerfremde Erzeuger/Ab n alles/Fakt/Beweis

Beweis

Wegen der Teilerfremdheit gibt es natürlich eine Darstellung

${}m=b_{1}e_{1}+\cdots +b_{n}e_{n}\,$

mit ganzzahligen Koeffizienten ${}b_{i}$. Wir werden sie schrittweise auf die gewünschte Gestalt bringen. Wir schreiben ${}b_{1}=c_{1}e_{2}+a_{1}$ mit ${}0\leq a_{1}<e_{2}$ (Division mit Rest). Dies setzt man in die Gleichung für ${}m$ ein und schlägt den Term ${}c_{1}e_{2}e_{1}$ zu ${}b_{2}e_{2}$ dazu. Ebenso bringt man den (neuen) zweiten Koeffizienten auf die gewünschte Form, in dem man ihn mit dem dritten Erzeuger verarbeitet. So kann man alle ersten ${}n-1$ Koeffizienten auf die gewünschte Gestalt bringen.

Es sei die Darstellung nun in der gewünschten Form. Dann ist die Summe der ersten ${}n-1$ Summanden beschränkt. Wenn ${}m$ größer als diese Schranke ist, so muss der letzte Summand und damit auch der letzte Koeffizient nichtnegativ sein.

Zur bewiesenen Aussage