Numerische Monoidringe/Unitäre Differentialoperatoren/Textabschnitt

Beispiel

Auf der Neilschen Parabel, die durch die numerische Halbgruppe

${}M=\{0,2,3,\ldots \}\subset \mathbb {N} \,$

gegeben ist, lassen sich zu jedem Monom ${}U^{n}$, ${}n\in M$, direkt unitäre Differentialoperatoren rational angeben. Wir betrachten ${}{\frac {1}{2!}}\partial _{U}^{2}$. Dies schickt ${}U^{2}$ auf ${}1$, ist aber nur eine rationaler Operator, da

${}{\left({\frac {1}{2!}}\partial _{U}^{2}\right)}{\left(U^{3}\right)}=3U\notin K[M]\,.$

Diesen Umstand kann man aber durch einen Korrekturterm einfach beheben. Wir betrachten

${\frac {1}{2!}}\partial _{U}^{2}-3U{\frac {1}{3!}}\partial _{U}^{3},$

der Koeffizient rechts ist so gewählt, dass ${}U^{3}$ insgesamt auf ${}0$ abgebildet wird. Der Term ${}U^{2}$ wird nach wie vor auf ${}1$ abgebildet. Monome der Form ${}U^{n}$, ${}n\geq 4$, werden auf skalare Vielfache von ${}U^{n-2}$ abgebildet, das Bild gehört also zum Ring. Somit ist der angegebene Operator ein unitärer Operator für ${}U^{2}$ auf ${}K[M]$.

In der gleichen Weise ergeben sich unitäre Operatoren für ${}U^{n}$, ${}n\geq 3$, man kann stets

${\frac {1}{n!}}{\left(\partial _{U}^{n}-U\partial _{U}^{n+1}\right)}$

nehmen.

In derselben Weise kann man zu jeder numerischen Semigruppe für jede Potenz unitäre Operatoren angeben. Zu ${}U^{n}$, ${}n\in M$, startet man mit ${}{\frac {1}{n!}}\partial _{U}^{n}$. Dann betrachtet man das nächstgrößte Element, sagen wir ${}m\in M$. Bei

${}{\left({\frac {1}{n!}}\partial _{U}^{n}\right)}{\left(U^{m}\right)}\in K[M]\,$

muss man nichts hinzunehmen. Wenn dies aber nicht zu ${}K[M]$ gehört, so nimmt man

${\frac {1}{n!}}\partial _{U}^{n}+c_{m}U^{m-n}{\frac {1}{m!}}\partial _{U}^{m},$

wobei der Koeffizient ${}c_{m}$ so zu wählen ist, dass das Gesamtergebnis des Operators, angewendet auf ${}U^{m}$, gleich ${}0$ ist. Man fährt induktiv mit dem nächsten ${}m'\in M$ fort. Die Hinzunahme der neuen Summanden ändert die Werte des Operators auf den kleineren Potenzen nicht. Jeder Summand hat dabei den Grad ${}-n$. Wenn ${}m-n\geq f$, wobei ${}f$ die Führungszahl von ${}M$ ist, so landet ${}X^{m}$ aus Gradgründen in ${}K[M]$ und man ist fertig.

Beispiel

Numerischer Halbgruppenring/3,5,7/Unitäre Differentialoperatoren/Beispiel