Obere Dreiecksmatrix/Auffinden der Jordanschen Normalform/Hauptraum/Verfahren

Wir beschreiben, wie man zu einer linearen trigonalisierbaren Abbildung eine Basis findet, bezüglich der die beschreibende Matrix in jordanscher Normalform ist. Dazu bestimmt man zu jedem Eigenwert  $\lambda \in K$  den minimalen Exponenten $s$ mit

$\mathrm{kern}{(\phi -\lambda \mathrm{Id})}^s=\mathrm{kern}{(\phi -\lambda \mathrm{Id})}^{s+1}.$

Dieser Kern ist der Hauptraum zu $\lambda$. Man setzt

$V_i=\mathrm{kern}{(\phi -\lambda \mathrm{Id})}^i\subseteq {\mathrm{Haupt}}_{\lambda }(\phi )$

für  $i=1,\dots ,s$.  Dies ergibt eine Kette

$V_1={\mathrm{Eig}}_{}\left(\lambda \right)\subseteq V_2\subset \cdots \subset V_{s-1}\subset V_s={\mathrm{Haupt}}_{\lambda }(\phi ).$

Man wählt nun aus $V_s\setminus V_{s-1}$ einen Vektor $u$. Die Vektoren

$u,(\phi -\lambda \mathrm{Id})(u),(\phi -\lambda \mathrm{Id}{)}^2(u),\dots ,(\phi -\lambda \mathrm{Id}{)}^{s-1}(u)$

bilden eine Basis für einen Jordan-Block. Wenn diese Basis schon den ganzen Hauptraum abdeckt, ist man fertig. Andernfalls sucht man in $V_s\setminus V_{s-1}$ einen weiteren, zu $u$ und $V_{s-1}$ linear unabhängigen Vektor und nimmt wieder sämtliche sukzessiven Bilder hinzu. Wenn $V_s\setminus V_{s-1}$ ausgeschöpft ist, schaut man, ob $V_{s-1}\setminus V_{s-2}$ bereits abgedeckt ist, usw. Wenn der Hauptraum zu $\lambda$ ausgeschöpft ist, macht man mit dem nächsten Eigenwert weiter.

Unter gewissen Umständen kann man auch mit einer Basis des Eigenraumes anfangen. Wenn beispielsweise der Eigenraum zu $\lambda$ eindimensional ist, so kann man einen Eigenvektor $v$ zu $\lambda$ wählen und dazu sukzessive Urbilder unter $\phi -\lambda {\mathrm{Id}}_V$ finden, also

$v=(\phi -\lambda {\mathrm{Id}}_V)(v^{\prime })$

lösen, dann

$v^{\prime }=(\phi -\lambda {\mathrm{Id}}_V)(v^{\prime \prime })$

usw.

Wenn beispielsweise der Eigenraum $k$-dimensional und der Hauptraum $(k+1)$-dimensional, so muss man nur für einen Eigenvektor ein Urbild unter $\phi -\lambda {\mathrm{Id}}_V$ finden.