Obere Dreiecksmatrix/Auffinden der Jordanschen Normalform/Hauptraum/Verfahren

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Wir beschreiben, wie man zu einer linearen trigonalisierbaren Abbildung eine Basis findet, bezüglich der die beschreibende Matrix in jordanscher Normalform ist. Dazu bestimmt man zu jedem Eigenwert den minimalen Exponenten mit

Dieser Kern ist der Hauptraum zu . Man setzt

für . Dies ergibt eine Kette

Man wählt nun aus einen Vektor . Die Vektoren
bilden eine Basis für einen Jordan-Block. Wenn diese Basis schon den ganzen Hauptraum abdeckt, ist man fertig. Andernfalls sucht man in einen weiteren, zu und linear unabhängigen Vektor und nimmt wieder sämtliche sukzessiven Bilder hinzu. Wenn ausgeschöpft ist, schaut man, ob bereits abgedeckt ist, u.s.w. Wenn der Hauptraum zu ausgeschöpft ist, macht man mit dem nächsten Eigenwert weiter.

Unter gewissen Umständen kann man auch mit einer Basis des Eigenraumes anfangen. Wenn beispielsweise der Eigenraum zu eindimensional ist, so kann man einen Eigenvektor zu wählen und dazu sukzessive Urbilder unter finden, also

lösen, dann

u.s.w.

Wenn beispielsweise der Eigenraum -dimensional und der Hauptraum -dimensional, so muss man nur für einen Eigenvektor ein Urbild unter finden.