Obere Dreiecksmatrix/Kanonische Zerlegung/2/Aufgabe/Lösung

a) Es ist

${}M-4E_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

eine Matrix mit Rang ${}1$, daher ist der Eigenraum zum Eigenwert ${}4$ zweidimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt

${\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&1\\0&0&4\end{pmatrix}}.$

b) In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist

${}{\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&1\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist

${}{\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

so dass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.

c) Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent. Ferner ist

${}{\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&4\\0&0&-4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

und

${}{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}4&0&0\\0&4&0\\0&0&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&4\\0&0&-4\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

und somit ist dies ebenfalls die kanonische Zerlegung

(allerdings bezüglich einer anderen Basis).

Zur gelösten Aufgabe