Obere Dreiecksmatrix/Kanonische Zerlegung/3/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}M-7E_{3}={\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

   eine Matrix mit Rang ${}1$, daher ist der Eigenraum zum Eigenwert ${}7$ zweidimensional. Daher hat die jordansche Normalform die Gestalt

   ${\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&1\\0&0&7\end{pmatrix}}.$

2. In der Basis, in der die jordansche Normalform vorliegt, ist

   ${}{\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&1\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\,.$

   Dabei ist der Summand links in Diagonalgestalt, also insbesondere diagonalisierbar, und der Summand rechts ist nilpotent. Ferner ist

   ${}{\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,,$

   sodass auch die Vertauschbarkeitsbeziehung gilt.

3. Die Summanden sind diagonalisierbar bzw. nilpotent. Ferner ist

   ${}{\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&14\\0&0&-7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

   und

   ${}{\begin{pmatrix}0&0&2\\0&0&-1\\0&0&0\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}7&0&0\\0&7&0\\0&0&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&14\\0&0&-7\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

   und somit ist dies ebenfalls die kanonische Zerlegung (allerdings bezüglich einer anderen Basis).

Zur gelösten Aufgabe