Obere Dreiecksmatrizen/Homomorphismus nach Torus/Kern/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}\operatorname {ODG} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der invertierbaren ${}n\times n$-oberen Dreiecksmatrizen über ${}K$. Zeige, dass es einen (natürlichen) surjektiven Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon \operatorname {ODG} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow {\left(K^{\times },\cdot ,1\right)}^{n}$

gibt. Bestimme den Kern von ${}\varphi$.

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