Obere Halbebene/Einheitskreis/Rational isomorph/Ausdehnung/Aufgabe

Zeige, dass die zueinander inversen Diffeomorphismen

$\varphi \colon {\mathbb {H} }\longrightarrow U{\left(0,1\right)},\,z\longmapsto {\frac {z-{\mathrm {i} }}{z+{\mathrm {i} }}},$

und

$\psi \colon U{\left(0,1\right)}\longrightarrow {\mathbb {H} },\,w\longmapsto {\frac {(w+1){\mathrm {i} }}{1-w}},$

(siehe Aufgabe) zu Diffeomorphismen (zwischen Mannigfaltigkeiten mit Rand) zwischen der abgeschlossenen Halbebene und der abgeschlossenen punktierten Kreisscheibe ${}B\left(0,1\right)\setminus \{\left(1,\,0\right)\}$ ausgedehnt werden können.

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