Mannigfaltigkeit mit Rand/Reell/C^k/Ergänzungsstrukturen/Definition

Differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand

Es seien ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}k\in {\overline {\mathbb {N} }}_{+}$. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten

$\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i},$

wobei die ${}V_{i}\subseteq H\subset \mathbb {R} ^{n}$ offene Mengen im euklidischen Halbraum ${}H$ der Dimension ${}n$ sind, und mit der Eigenschaft, dass die Übergangsabbildungen

$\alpha _{j}\circ \alpha _{i}^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

${}C^{k}$-Diffeomorphismen sind, heißt ${}C^{k}$-Mannigfaltigkeit mit Rand oder differenzierbare Mannigfaltigkeit mit Rand (vom Grad ${}k$), oder berandete Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten ${}(U_{i},\alpha _{i})$, ${}i\in I$, nennt man auch den ${}C^{k}$-Atlas der berandeten Mannigfaltigkeit.