Obere Halbebene/Exponentialfunktion/Nicht schwach modular/Aufgabe/Lösung

Es sei angenommen, dass ${}f$ schwach modular zum Gewicht ${}k$ ist. Nach Fakt gilt dann insbesondere  ${}f(-{\frac {1}{z}})=z^{k}f(z)$  für alle  ${}z\in {\mathbb {H} }$.  Dies bedeutet

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }{\left(-{\frac {1}{z}}\right)}}=z^{k}e^{2\pi {\mathrm {i} }z}\,.$

Multiplikation mit ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }{\left({\frac {1}{z}}\right)}}$ ergibt

${}1=e^{0}=z^{k}e^{2\pi {\mathrm {i} }{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}}\,.$

Die Funktion ${}e^{2\pi {\mathrm {i} }{\left(z+{\frac {1}{z}}\right)}}$ ist invariant unter der Substitution ${}z\mapsto {\frac {1}{z}}$, was für ${}z^{k}$ bei  ${}k\neq 0$  sicher nicht gilt. Also ist  ${}k=0$.  Es ist aber

${}e^{2\pi {\mathrm {i} }u}=1\,$

nur für  ${}u\in \mathbb {Z}$,  und für beliebiges  ${}z\in {\mathbb {H} }$  ist definitiv nicht immer

 ${}z+{\frac {1}{z}}\in \mathbb {Z}$. 

Zur gelösten Aufgabe