Offene Menge/C/Holomorphe Funktion/Nullhomologer Weg/Triviales Wegintegral/Fakt/Beweis

Beweis

Zur holomorphen Differentialform

${}\omega =fdz\,$

betrachten wir die Wegauswertung

$\Psi _{\omega }\colon \pi _{1}(U)\longrightarrow {\mathbb {C} },\,\gamma \longmapsto \int _{\gamma }\omega ,$

die nach Fakt ein Gruppenhomomorphismus ist. Da die Gruppe ${}({\mathbb {C} },+,0)$ kommutativ ist, besitzt ${}\Psi _{\omega }$ nach dem Homomorphiesatz eine Faktorisierung

$\pi _{1}(U){\stackrel {}{\longrightarrow }}H_{1}(U,\mathbb {Z} )=\pi _{1}(U)/[\pi _{1}(U),\pi _{1}(U)]\longrightarrow {\mathbb {C} }.$

Die Nullhomologie von ${}\gamma$ bedeutet, dass die Klasse von ${}\gamma$ in ${}H_{1}(U,\mathbb {Z} )$ gleich ${}0$ ist, somit ist auch der Wert rechts gleich ${}0$.

Zur bewiesenen Aussage