Offene Menge/Punkt/Holomorphe Funktion/Isolierte Singularität/Pol/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei (1) erfüllt, d.h. dass

${}f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}\,$

mit einer holomorphen Funktion ${}g$ auf ${}U$ und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann divergiert ${}\vert {f(z)}\vert$ für ${}z\rightarrow a$ gegen ${}\infty$, da ja der Zähler konvergiert und der Nenner dieses Verhalten besitzt. Dies ergibt (2). Von (2) nach (1). Wir betrachten die Funktion ${}{\frac {1}{f}}$ auf einer offenen Kreisscheibe von ${}a$, worauf ${}f$ keine Nullstelle besitzt. Dies ist eine holomorphe Funktion auf der punktierten Kreisscheibe, deshalb gibt es eine beschreibende Laurent-Reihe,

${}{\frac {1}{f(z)}}=\sum _{k\in \mathbb {Z} }d_{k}(z-a)^{k}\,.$

Die Voraussetzung bedeutet, dass ${}{\frac {1}{f(z)}}$ für ${}z\rightarrow a$ gegen ${}0$ konvergiert. Daher ist nach Fakt ${}{\frac {1}{f}}$ eine holomorphe Funktion, d.h.

${}{\frac {1}{f(z)}}=\sum _{k\in \mathbb {N} }d_{k}(z-a)^{k}=(z-a)^{m}g(z)\,$

mit einer holomorphen Funktion ${}g(z)$ mit ${}g(a)\neq 0$, ${}m\geq 1$. Durch invertieren folgt

${}f(z)=(z-a)^{-m}{\frac {1}{g}}\,,$

wobei der rechte Faktor auf einer offenen Umgebung von ${}a$ definiert und holomorph ist.

Von (1) nach (3). Aus der Darstellung

${}f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}\,$

aus (1) in Verbindung mit der Potenzreihenentwicklung

${}g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(z-a)^{k}\,$

ergibt sich

${}f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}(z-a)^{k-n}\,.$

Unterhalb von Index ${}-n$ sind alle Koeffizienten gleich ${}0$, und einer der Koeffizienten zu einem negativen Index muss ${}\neq 0$ sein, sonst wäre ${}f$ holomorph. Dies ergibt (3). Von (3) nach (1) ist klar, da man ja eine Laurent-Darstellung der Form

${}f(z)=\sum _{k=-n}^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}\,$

mit ${}(z-a)^{n}$ multiplizieren kann, um eine holomorphe Funktion in ${}a$ zu erreichen.

Die Äquivalenz von (2) und (4) ergibt sich unmittelbar aus der Definition für meromorph.

Zur bewiesenen Aussage