Offene Menge/R^n/Vektorfelder/Lie-Klammer/Vektorfeld/Fakt

Explizite Beschreibung der Lie-Klammer von Vektorfeldern

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf ${}U$ mit den zugehörigen Differentialoperatoren ${}D=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}$ und ${}E=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$

Dann gilt

${}D\circ E-E\circ D=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\right)}\partial _{j}\,.$

Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung ${}1$ und somit einem Vektorfeld.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen