Offene Menge/R^n/Vektorfelder/Lie-Klammer/Vektorfeld/Fakt

Explizite Beschreibung der Lie-Klammer von Vektorfeldern

Es sei  ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$  offen und seien ${}f_{1},\ldots ,f_{n},g_{1},\ldots ,g_{n}$ zweifach stetig differenzierbare Funktionen auf ${}U$ mit den zugehörigen Differentialoperatoren  ${}D=\sum _{i=1}^{n}f_{i}\partial _{i}$  und  ${}E=\sum _{j=1}^{n}g_{j}\partial _{j}$ 

Dann gilt

${}D\circ E-E\circ D=\sum _{j=1}^{n}{\left(\sum _{i=1}^{n}{\left(f_{i}\partial _{i}g_{j}-g_{i}\partial _{i}f_{j}\right)}\right)}\partial _{j}\,.$

Insbesondere entspricht dieser Ausdruck selbst einem Differentialoperator der Ordnung ${}1$ und somit einem Vektorfeld.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen