Offene Mengen/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/In Koordinaten/Fakt/Beweis

Beweis

Die zweite Gleichung beruht auf einer einfachen Umordnung. Aufgrund von Fakt (2) kann man sich auf den Fall  ${}\omega =f_{I}dy_{I}$  beschränken. Wir setzen  ${}f=f_{I}$  und dürfen  ${}I=\{1,\ldots ,k\}$  annehmen. Wir zeigen die Gleichheit der beiden ${}k$-Formen auf ${}U$, indem wir zeigen, dass sie für jeden Punkt  ${}P\in U$  und jedes Dachprodukt ${}e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}}$ mit  ${}1\leq j_{1}=\ldots =j_{k}\leq n$  den gleichen Wert liefern. Es ist einerseits

${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(P,e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}})&=(fdy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})(\varphi (P),T_{P}(\varphi )(e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge T_{P}(\varphi )(e_{j_{k}}))\\&=f(\varphi (P))(dy_{1}\wedge \ldots \wedge dy_{k})({\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{1}}}}(P)\end{pmatrix}}\wedge \ldots \wedge {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{k}}}}(P)\end{pmatrix}})\\&=f(\varphi (P))\cdot \det {\left((dy_{i}){\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\end{pmatrix}}\right)}_{1\leq i,\ell \leq k}\\&=f(\varphi (P))\cdot \det {\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j_{\ell }}}}(P)\right)}_{1\leq i,\ell \leq k}.\,\end{aligned}}$

Wenn man andererseits die Summe auf ${}e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}}$ anwendet, so ist  ${}dx_{J}(e_{j_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{j_{k}})=0$  außer bei  ${}J=\{j_{1},\ldots ,j_{k}\}$,  wo sich der Wert ${}1$ ergibt, sodass sich also der gleiche Wert ergibt.

Zur bewiesenen Aussage