Offene Mengen/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/In Koordinaten/Fakt/Beweis

Beweis

Die zweite Gleichung beruht auf einer einfachen Umordnung. Aufgrund von Fakt (2) kann man sich auf den Fall $ω = f_{I} d y_{I}$ beschränken. Wir setzen $f = f_{I}$ und dürfen $I = {1, \dots, k}$ annehmen. Wir zeigen die Gleichheit der beiden $k$ -Formen auf $U$ , indem wir zeigen, dass sie für jeden Punkt $P \in U$ und jedes Dachprodukt $e_{j_{1}} \land \dots \land e_{j_{k}}$ mit $1 \leq j_{1} \leq \dots \leq j_{k} \leq n$ den gleichen Wert liefern. Es ist einerseits

\begin{matrix} φ^{*} (f d y_{1} \land \dots \land d y_{k}) (P, e_{j_{1}} \land \dots \land e_{j_{k}}) & = (f d y_{1} \land \dots \land d y_{k}) (φ (P), T_{P} (φ) (e_{j_{1}}) \land \dots \land T_{P} (φ) (e_{j_{k}})) \\ = f (φ (P)) (d y_{1} \land \dots \land d y_{k}) ((\begin{matrix} \frac{\partial φ_{1}}{\partial x_{j_{1}}} (P) \\ ⋮ \\ \frac{\partial φ_{m}}{\partial x_{j_{1}}} (P) \end{matrix}) \land \dots \land (\begin{matrix} \frac{\partial φ_{1}}{\partial x_{j_{k}}} (P) \\ ⋮ \\ \frac{\partial φ_{m}}{\partial x_{j_{k}}} (P) \end{matrix})) \\ = f (φ (P)) \cdot det {((d y_{i}) (\begin{matrix} \frac{\partial φ_{1}}{\partial x_{j_{ℓ}}} (P) \\ ⋮ \\ \frac{\partial φ_{m}}{\partial x_{j_{ℓ}}} (P) \end{matrix}))}_{1 \leq i, ℓ \leq k} \\ = f (φ (P)) \cdot det {(\frac{\partial φ_{i}}{\partial x_{j_{ℓ}}} (P))}_{1 \leq i, ℓ \leq k} . \end{matrix}

Wenn man andererseits die Summe auf $e_{j_{1}} \land \dots \land e_{j_{k}}$ anwendet, so ist $d x_{J} (e_{j_{1}} \land \dots \land e_{j_{k}}) = 0$ außer bei $J = {j_{1}, \dots, j_{k}}$ , wo sich der Wert $1$ ergibt, sodass sich also der gleiche Wert ergibt.

Zur bewiesenen Aussage