Mannigfaltigkeit/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von Differentialformen/Elementare Eigenschaften/Fakt

Es seien ${}L$ und ${}M$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und

$\varphi \colon L\longrightarrow M$

eine differenzierbare Abbildung. Dann erfüllt das Zurückziehen von Differentialformen folgende Eigenschaften.

1. Für eine Funktion ${}f\in \operatorname {Abb} (M,\mathbb {R} )={\mathcal {E}}^{0}(M)$ ist ${}\varphi ^{*}(f)=f\circ \varphi$.
2. Die Abbildungen

   $\varphi ^{*}\colon {\mathcal {E}}^{k}(M)\longrightarrow {\mathcal {E}}^{k}(L),\,\omega \longmapsto \varphi ^{*}\omega ,$

   sind ${}\mathbb {R}$-linear.

3. Wenn ${}L\subseteq M$ eine offene Untermannigfaltigkeit ist, so ist das Zurückziehen einer Differentialform ${}\omega$ einfach die Einschränkung ${}\omega {|}_{L}$ auf diese Teilmenge.
4. Es sei ${}N$ eine weitere differenzierbare Mannigfaltigkeit und

   $\psi \colon M\longrightarrow N$

   eine weitere differenzierbare Abbildung. Dann gilt

   ${}(\psi \circ \varphi )^{*}(\omega )=\varphi ^{*}(\psi ^{*}(\omega ))\,$

   für jede Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(N)$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen