Offene Mengen/K-Vektorraum/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von 1-Formen/In Koordinaten/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Additivität beider Seiten können wir  $\omega =f_{i}d{y}_i$  für ein $i$ annehmen. Es ist die Gleichheit von zwei linearen Abbildungen zu zeigen, sodass wir die Wirkungsweise auf der Basis $u_1,\dots ,u_n$ von $V^{\prime }$, die den Koordinaten $x_j$ zugrunde liegt, betrachten. Für einen Punkt  $P\in U^{\prime }$  und ein $k$ ist aber

$\begin{array}{cc}({\phi }^{\ast }\omega )(P,u_k)& =(\omega (\phi (P))\circ {\left(D\phi \right)}_P)(u_k)\\ & =\left(f_{i}d{y}_i\right)(\phi (P))\left({\left(D\phi \right)}_P\right)(u_k)\\ & =(f_i(\phi (P))d{y}_i)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial {\phi }_1}{\partial x_k}(P)\\ ⋮\\ \frac{\partial {\phi }_m}{\partial x_k}(P)\end{array}\right)\\ & =(f_i\circ \phi )(P)\cdot \frac{\partial {\phi }_i}{\partial x_k}(P)\\ & =(\sum _{j=1}^n(f_i\circ \phi )(P)\cdot \frac{\partial {\phi }_i}{\partial x_j}(P)d{x}_j)(u_k).\end{array}$

Zur bewiesenen Aussage