Offene Mengen/K-Vektorraum/Differenzierbare Abbildung/Zurückziehen von 1-Formen/In Koordinaten/Fakt/Beweis

Beweis

Aufgrund der Additivität beider Seiten können wir ${}\omega =f_{i}dy_{i}$ für ein ${}i$ annehmen. Es ist die Gleichheit von zwei linearen Abbildungen zu zeigen, sodass wir die Wirkungsweise auf der Basis ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$ von ${}V'$, die den Koordinaten ${}x_{j}$ zugrunde liegt, betrachten. Für einen Punkt ${}P\in U'$ und ein ${}k$ ist aber

${}{\begin{aligned}(\varphi ^{*}\omega )(P,u_{k})&={\left(\omega (\varphi (P))\circ \left(D\varphi \right)_{P}\right)}(u_{k})\\&={\left(f_{i}dy_{i}\right)}(\varphi (P)){\left(\left(D\varphi \right)_{P}\right)}(u_{k})\\&={\left(f_{i}(\varphi (P))dy_{i}\right)}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{k}}}(P)\\\vdots \\{\frac {\partial \varphi _{m}}{\partial x_{k}}}(P)\end{pmatrix}}\\&={\left(f_{i}\circ \varphi \right)}(P)\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{k}}}(P)\\&={\left(\sum _{j=1}^{n}{\left(f_{i}\circ \varphi \right)}(P)\cdot {\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}(P)dx_{j}\right)}(u_{k}).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage