Offene Teilmenge/C/C-wertige 1-Form/Reell-Differenzierbar/Beispiel

Es sei  ${}G\subseteq {\mathbb {C} }$  eine offene Teilmenge und

$f\colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine reell-partiell differenzierbare Abbildung, die wir in der Form  ${}f=g+h{\mathrm {i} }$  mit reellwertigen Funktionen

$g,h\colon G\longrightarrow \mathbb {R}$

schreiben. Die Abbildung

$G\longrightarrow \operatorname {Hom} _{\mathbb {R} }{\left(\mathbb {R} ^{2},\mathbb {R} ^{2}\right)},\,P\longmapsto \left(Df\right)_{P},$

ist dann eine ${}1$-Form mit Werten in ${}{\mathbb {C} }$. Wenn man mit ${}dx$ die reellwertige Differentialform bezeichnet, die jeden Punkt auf die lineare Projektion ${}{\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x+y{\mathrm {i} }\longmapsto x$, abbildet, und mit ${}dy$ die reellwertige Differentialform bezeichnet, die jeden Punkt auf die lineare Projektion ${}{\mathbb {C} }\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}x+y{\mathrm {i} }\longmapsto y$, abbildet, und diese Formen wiederum in ${}{\mathbb {C} }$ auffasst, so kann man

${}\left(Df\right)_{P}={\left({\frac {\partial g}{\partial x}}(P)+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial x}}(P)\right)}dx+{\left({\frac {\partial g}{\partial y}}(P)+{\mathrm {i} }{\frac {\partial h}{\partial y}}(P)\right)}dy\,$

schreiben. Dies bestätigt man, indem man beide Seiten auf die Standardvektoren ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ anwendet.