Offene Teilmenge/C/C-wertige 1-Form/Reell-Differenzierbar/Beispiel

Es sei  $G\subseteq ℂ$  eine offene Teilmenge und

$f:G⟶ℂ$

eine reell-partiell differenzierbare Abbildung, die wir in der Form  $f=g+h\mathrm{i}$  mit reellwertigen Funktionen

$g,h:G⟶ℝ$

schreiben. Die Abbildung

$G⟶{\mathrm{Hom}}_{ℝ}({ℝ}^2,{ℝ}^2),P⟼{\left(Df\right)}_P,$

ist dann eine $1$-Form mit Werten in $ℂ$. Wenn man mit $dx$ die reellwertige Differentialform bezeichnet, die jeden Punkt auf die lineare Projektion $ℂ⟶ℝ$, $x+y\mathrm{i}⟼x$, abbildet, und mit $dy$ die reellwertige Differentialform bezeichnet, die jeden Punkt auf die lineare Projektion $ℂ⟶ℝ$, $x+y\mathrm{i}⟼y$, abbildet, und diese Formen wiederum in $ℂ$ auffasst, so kann man

${\left(Df\right)}_P=(\frac{\partial g}{\partial x}(P)+\mathrm{i}\frac{\partial h}{\partial x}(P))dx+(\frac{\partial g}{\partial y}(P)+\mathrm{i}\frac{\partial h}{\partial y}(P))dy$

schreiben. Dies bestätigt man, indem man beide Seiten auf die Standardvektoren $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ anwendet.