Offenes Intervall/Differentialgleichungssystem/Zusammenhang/Aufgabe/Lösung

1. Zu jedem festen ${}(t,u)$ liegt eine lineare Abbildung vor, da ${}v$ und ${}w$ linear in den dritten Term eingehen. Wenn man links mit ${}(t,u,w)$ startet, so wird dies auf ${}(t,u,0,w)$ abgebildet und damit zurück auf ${}(t,u,w)$, es liegt also in der Tat eine Spaltung vor.
2. Die Tangentialabbildung zu

   $u\colon I\longrightarrow I\times \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto (t,u(t)),$

   ist

   $TI=I\times \mathbb {R} \longrightarrow T{\left(I\times \mathbb {R} ^{n}\right)}=I\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n},\,(t,a)\longmapsto (t,u(t),a,au'(t)).$

   Daher ist (die vertikale Ableitung in Richtung ${}\partial$ entspricht ${}a=1$)

   ${}\nabla _{\partial }(u)=\pi _{\text{vert}}(t,u(t),1,u'(t))=(t,u(t),-F{\left(t,u_{1}(t),\ldots ,u_{n}(t)\right)}+u'(t)\,.$

3. Der Schnitt ${}u$ ist genau dann ein horizontaler Schnitt, wenn die vertikale Ableitung verschwindet, wenn also

   ${}-F{\left(t,u_{1}(t),\ldots ,u_{n}(t)\right)}+u'(t)=0\,$

   bzw.

   ${}u'(t)=F{\left(t,u_{1}(t),\ldots ,u_{n}(t)\right)}\,$

   für alle ${}t\in I$ ist. Dies bedeutet genau, dass eine Lösung des Differentialgleichungssystems vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe