Offenes Intervall/Differentialgleichungssystem/Zusammenhang/Aufgabe

Es sei ein zeitabhängiges stetiges Vektorfeld

F : I \times ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n}, (t, u_{1}, \dots, u_{n}) ⟼ (F_{1} (u_{1}, \dots, u_{n}), \dots, F_{n} (u_{1}, \dots, u_{n})),

u^{'} = F (t, u)

auf einem offenen Intervall $I \subseteq ℝ$ gegeben.

Zeige, dass durch
$I \times ℝ^{n} \times ℝ \times ℝ^{n} ⟶ I \times ℝ^{n} \times ℝ^{n}, (t, u, v, w) ⟼ (t, u, - v F (t, u_{1}, \dots, u_{n}) + w),$

ein (die vertikale Projektion für einen) Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel

$I \times ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n}$

gegeben ist.
Bestimme die vertikale Ableitung $\nabla_{\partial} u$ zu einer differenzierbaren Kurve
$u : I ⟶ ℝ^{n}$

(aufgefasst als Schnitt in $I \times ℝ^{n}$ ).
Zeige, dass eine differenzierbare Kurve $u : I \to ℝ^{n}$ genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn $u$ ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.