Offenes Intervall/Differentialgleichungssystem/Zusammenhang/Aufgabe

Es sei ein zeitabhängiges stetiges Vektorfeld

$F\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,\left(t,\,u_{1},\,\ldots ,\,u_{n}\right)\longmapsto \left(F_{1}{\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)},\,\ldots ,\,F_{n}{\left(u_{1},\ldots ,u_{n}\right)}\right),$

mit dem zugehörigen gewöhnlichen Differentialgleichungssystem

${}u'=F(t,u)\,$

auf einem offenen Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ gegeben.

1. Zeige, dass durch

   $I\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow I\times \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n},\,(t,u,v,w)\longmapsto \left(t,\,u,\,-vF{\left(t,u_{1},\ldots ,u_{n}\right)}+w\right),$

   ein (die vertikale Projektion für einen) Zusammenhang auf dem trivialen Vektorbündel

   $I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   gegeben ist.

2. Bestimme die vertikale Ableitung ${}\nabla _{\partial }u$ zu einer differenzierbaren Kurve

   $u\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

   (aufgefasst als Schnitt in ${}I\times \mathbb {R} ^{n}$).

3. Zeige, dass eine differenzierbare Kurve ${}u\colon I\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ genau dann eine Lösung des Differentialgleichungssystems ist, wenn ${}u$ ein horizontaler Schnitt bezüglich des Zusammenhangs ist.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen