Formale Aspekte

Namen der Verfasser der Lernumgebungsdokumentation

Linda Klinck, Marie Selena Meyers, Emmelie-Marie Wax, Anna Schorr

E-Mail-Adressen und Datum

s8liklin@uni-saarland.de, s8mrmeye@uni-saarland.de, emwa00001@uni-saarland.de, s8amscho@uni-saarland.de

Inhaltsaspekte

Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung

Konkrete Fragestellung/ Aufgabenstellung/ Anweisung/ Text

1.Einführungsphase (5 Minuten)

In der Einführungsphase stellen sich die Studierenden vor und begrüßen die Kinder. Anschließend werden die Regeln und der Ablauf der Phase besprochen. Hierbei wird auch die thematische Einbettung der Lernumgebung aufgegriffen und ein Bezug zum vorherigen Rätsel hergestellt: „Nun hast du bereits das erste Rätsel für die Agentenausbildung gelöst und eine Zahl für das Zahlenschloss erhalten. Um die anderen Zahlen zu erhalten, musst du weitere Rätsel gemeinsam mit dem Hund lösen. Finde dazu zuerst heraus, wo das nächste Rätsel versteckt ist. Ich habe ein Bild von diesem Ort gemacht, dass ich dir gleich zeigen werde.“ „Wenn du weißt, wo das nächste Rätsel versteckt ist, renne nicht direkt los. Es ist wichtig, dass ihr gemeinsam als Gruppe dorthin geht und auch den Hund mitnehmt. Ein Kind darf den Hund an der Leine führen und läuft mit ihr ganz hinten. Wer möchte Yuki an der Leine zum nächsten Ort führen?“ Studierende zeigt den Bildimpuls, die Kinder äußern ihre Vermutungen, erhalten ihre Klemmbretter und stellen sich an der Tür auf.

2.Rätsel 2 – Die Säckchen-Aufgabe (20-25 Minuten)

Zunächst liest ein*e Schüler*in die Aufgabenstellung laut vor. Die Schüler*innen sollen nun 14 Säckchen auf einem Feld, das in 36 gleich große Felder unterteilt ist, so verteilen, dass in jeder Spalte und jeder Zeile eine gerade Anzahl an Säckchen liegt. In einem ersten Schritt sollen die Schüler*innen alleine mithilfe eines Arbeitsblattes mögliche Lösungen suchen. Danach besprechen sie sich in ihrer Gruppe und einigen sich auf eine Team-Lösung, die sie gemeinsam mit der Hilfe von Yuki in ein großes Feld legen. Folglich ist die Aufgabe erst gelöst, wenn sie gemeinsam eine richtige Lösung mit Yuki im großen Feld gelegt haben. Nachdem ein Kind die Aufgabenstellung vorgelesen hat, wird der Auftrag in Lerngruppe noch einmal besprochen. Danach lösen die Schüler*innen die Aufgabe zunächst alleine. Dabei begleiten die Studierenden die Kinder und unterstützen sie beim Lösen der Aufgabe durch Tipps und Hinweise. Nachdem sich auf eine gemeinsame Lösung geeinigt wurde, visualisieren die Schüler*innen diese auf einem großen quadratischen Feld, das in 36 Felder unterteilt ist, in Zusammenarbeit mit dem Hund. Dabei wird haptisches Material in Form von Säckchen verwendet. Am Ende erhalten die Schüler*innen eine Lösungszahl (4) und sichten das nächste Bild des Hundes, um den Ort des neuen Rätsels herauszufinden. Ein Kind zur Leinenführung wird ausgewählt. „Super. Du hast die richtige Lösung gefunden. Deine Lösungszahl ist die 4.Schau dir das neue Bild an und überlege, ob du den Ort erkennst. Wer möchte den Hund nun an der Leine führen?“

3.Rätsel 3 – Die Mess-Aufgabe (15-20 Minuten)

Die Lernenden ermitteln nun die Durchschnittsgröße ihrer Lerngruppe. Zunächst wird erneut der Arbeitsauftrag gemeinsam besprochen. Die Lernenden messen sich gegenseitig und verwenden dabei verschiedene Messgeräte. Anschließend messen sie den Hund in Zweierteams. Alle Lernenden notieren ihre Ergebnisse in einer Tabelle. Die Lernenden berechnen anschließend die Durchschnittsgröße der Gruppe, indem sie schriftlich dividieren oder die Ergebnisse runden und im Kopf rechnen. „Lies die Aufgabenstellung für die ganze Gruppe vor.“ „Miss die Größe von allen deinen Gruppenmitgliedern, also auch den Hund. Ermittle anschließend eure Durchschnittsgröße. (Rechne in cm/m).“ „Nenne die Durchschnittsgröße der Gruppe.“ Abschließend erhalten die Kinder eine weitere Lösungszahl (1) und können nun das Abschlussrätsel der Lernumgebung antreten.

Befehle für den Hund (falls anwendbar)

1.Einführungsphase

Der Hund liegt während der Einführung ruhig bei der Lerngruppe oder darf sich frei im Raum bewegen.

2.Rätsel 2 – Die Säckchen-Aufgabe

Der Hund wird von seiner Bezugsperson und einem Kind an der Leine zum nächsten Rätsel geführt. Der Hund sitzt oder liegt auf einem Platz, während die Kinder die Aufgabe lösen. Nachdem die Kinder eine richtige Lösung gefunden haben, hilft der Hund dabei, die Säckchen einzuräumen. Der Hund trägt die Säckchen (ggf. mit einem Korb) in die Hände des Kindes. Anschließend räumt das Kind die Säckchen in das richtige Feld ein. Kommando: „Nimm / In die Hand“

3.Rätsel 3 – Die Mess-Aufgabe

Der Hund wird von seiner Bezugsperson und einem Kind an der Leine zum nächsten Rätsel geführt. Der Hund steht, sitzt oder liegt auf einem Platz, während die Kinder die Aufgabe lösen. Wenn die Kinder den Hund messen, verweilt der Hund ruhig in seiner Position. Dabei hält die Bezugsperson des Hundes diesen an der Leine. Kommando: „Steh/Sitz/Platz/Bleib“

Aufgabenspezifische Hintergrundinformationen und mögliche Impulse

1.Einführungsphase

Studierende erklärt die Regeln der Leinenführung (vorsichtig sein/ nicht ziehen/ langsam laufen/ gut festhalten/ das Kind, das den Hund führt, läuft hinter der Gruppe). Hinweis: Der Hund sollte nicht alleine von einem Kind an der Leine geführt werden, sondern nur in kontrollierter Begleitung seiner Bezugsperson.

2.Rätsel 2 – Die Säckchen-Aufgabe

Hilfsimpulse: „Du kannst eine Tippkarte nehmen, wenn du Hilfe brauchst.“ „Starte mit 4 Säckchen in einer Reihe und einer Spalte.“ „Überprüfe nochmal deine Lösung. Ist in jeder Spalte und jeder Reihe wirklich eine gerade Zahl?"

3.Rätsel 3 – Die Mess-Aufgabe

Klärung der Regeln beim Messen der Kinder / des Hundes „Bevor du startest, besprechen wir gemeinsam noch einige Regeln. Überlege: Auf was musst du beim Messen achten? Und worauf, gerade wenn du den Hund misst?“ Mögliche Schüler*innenantworten: Beim Messen müssen die Kinder möglichst geradestehen. Wenn ich den Hund messe, muss ich besonders vorsichtig sein. Der Hund muss ruhig stehen, sitzen oder liegen. „Messt euch gegenseitig. Alle Kinder dürfen einmal den Hund messen, aber nacheinander. Ihr könnt den Hund in verschiedenen Positionen messen. Am besten ist es, wenn immer ein Kind mit dem Hund ein Kommando (z.B. Sitz, Platz oder Steh) durchführt und ein anderes Kind den Hund währenddessen von der Seite aus vorsichtig misst. Dafür muss der Hund seine Position für einen kurzen Moment halten. Benutze eventuell auch das Kommando ‘Bleib’.“ Idealerweise zeigen zwei Studierende den Messvorgang einmal. Hilfsimpulse: „Du kannst eine Tippkarte nehmen, wenn du Hilfe brauchst.“ „Damit du nicht mit Kommazahlen rechnen musst, kannst du die Körpergröße auch auf- oder abrunden.“ „1 𝑚 entspricht 100 𝑐𝑚“ „Addiere die Größen aller Kinder und die Größe des Hundes. Dividieren die Summe aller Größen mit der Anzahl deiner Gruppe.“ „Die Durchschnittsgröße kann variieren, wenn der Hund z.B. in verschiedenen Positionen gemessen wurden oder ihr die Kinder nicht genau gemessen habt. Das macht nichts.“ „Nutze die Skala auf dem Maßband, welche die Körpergröße in Zentimeter angibt."

Voraussetzungen

1. Lernvoraussetzungen der Schüler*innen

Fach- und Sachbezogene Lernvoraussetzungen

Die Schüler*innen…

... haben die Inhalte der Klassenstufe eins und zwei gefestigt.

... kennen die vier Grundrechenarten.

... wenden erlernte mathematische Fähigkeiten an, um die Rätsel zu lösen.

... besitzen realistische Größenvorstellungen zum Größenbereich Längen.

... erkennen Muster und Gesetzmäßigkeiten.

... können mit verschiedenen Messinstrumenten Gegenstände und Personen ausmessen.

... nutzen verschiedene heuristische Strategien zum Problemlösen an (vgl. Krauthausen, 2018, S.17).

Soziale Lernvoraussetzungen

Die Schüler*innen...

... arbeiten gemeinsam, respektvoll und rücksichtsvoll in der Gruppe.

... können ihr „eigenes Vorgehen beschreiben, Lösungswege anderer verstehen und gemeinsam darüber reflektieren“ (vgl. MfB, 2009, S.6).

... hören aufmerksam zu und stören andere nicht bei der Bearbeitung der Aufgaben in Einzelarbeit.

... agieren rücksichtsvoll mit dem Hund und beachten dabei die besprochenen Regeln zum Umgang mit dem Hund. (vgl. Blesch, 2020, S.52f.)

Personale Lernvoraussetzungen

Die Schüler*innen...

... erkennen ihre mathematischen Fähigkeiten, nutzen diese, um die Rätsel zu lösen und geben auch bei Hindernissen nicht auf.

... können sich in die Rahmengeschichte der Lernumgebung eindenken und verstehen ihre Aufgabe als Saargenten.

... erkennen ihre Verantwortung in der Gruppe und arbeiten gewissenhaft an den Rätseln.

... kennen und nutzen Strategien zur Selbsthilfe.

... sind motiviert die Rätsel zu lösen, um die Saargentenausbildung zu absolvieren.

... haben Spaß die mathematischen Rätsel mit dem Hund gemeinsam zu bearbeiten.

Methodische Lernvoraussetzungen

Die Schüler*innen...

... kennen die verschiedenen Sozialformen und können sowohl allein, in Partner- und Gruppenarbeit arbeiten.

... können mit verschiedenen Arbeitsmitteln sowohl auf enaktiver als auch auf ikonischer Ebene arbeiten.

2. Lernvoraussetzungen des Hundes

Der Hund...

... verhält sich ruhig in der Gruppe.

... hat Spaß mit den Kindern zu interagieren.

... hat ein ruhiges und ausgeglichenes Wesen und lässt sich durch Geräusche und Bewegungen nicht verunsichern.

... geht ruhig im Umgang mit Kindern um und hat keine Angst vor den Berührungen der Kinder.

... kennt und beherrscht die Kommandos „Sitz“, „Platz“, „Bleib“, „Nimm“, „In die Hand“ und „Steh“.

Mathematischer Gehalt der Lernumgebung

Was steckt fachlich in der/ den Aufgabe(n)?

1.Die Säckchen-Aufgabe

Die erste Aufgabe der Lernumgebung lässt sich der Leitidee „Muster, Strukturen und funktionaler Zusam-menhang“ (KMK, 2022, S.15) zuordnen. Diese Leitidee ist „quer über alle Inhaltsbereiche [der Mathematik] zu denken“ (Anm. d. Verf., Krauthausen, 2018, S.35) und repräsentiert somit die „wechselseitigen Vernet-zungen“ (ebd.) aller einzelnen Inhaltsbereiche des Fachgebiets. Parallel dazu spiegelt auch diese Aufgabe die Verbindung aller Teilbereiche der Mathematik wider, da bei einer Lösung der Aufgabe die Inhaltsbereiche der Arithmetik, der Stochastik sowie der Geometrie zusammenspielen.

Bei diesem Rätsel suchen die Lernenden auf verschiedenen Wegen (das heißt auf der enaktiven Repräsentati-onsebene mit haptischem Material oder auf der ikonischen Darstellungsebene mittels eines Arbeitsblattes) möglichst viele Möglichkeiten, 14 Säckchen auf einem quadratischen Feld, das in 36 gleich große Felder unterteilt ist, so zu platzieren, dass in jeder Spalte und in jeder Zeile eine gerade Anzahl an Säckchen steht. Die Aufgabe fördert insbesondere die prozessbezogene Kompetenz „Probleme mathematisch lösen“ (KMK, 2022, S.10), welche sich dadurch kennzeichnet, dass die Schüler*innen eigene Lösungswege und -strategien zu Aufgaben entwickeln, „zu denen bisher keine Lösungsroutinen bekannt sind“ (ebd., S.11).

In einem ersten Schritt sollen die Schüler*innen folglich eine oder sogar mehrere Lösungsmöglichkeiten für das konstruierte Problem finden. Beim Lösen der Aufgabe verwenden die Kinder vermutlich zunächst unbe-wusst sogenannte „heuristische Strategien“ (Polya, 1995; Aebli, 1981, zit. n. Krauthausen, 2018, S.17), wie beispielsweise das zufällige oder systematische Probieren (vgl. ebd.). Über die Lösungswege der Kinder sollte im Anschluss definitiv kommuniziert werden, damit die jungen Schüler*innen ein Bewusstsein für das eigene Vorgehen aufbauen und ihre individuellen Strategien erkennen (vgl. Krauthausen, 2018, S.30).

Der Kern der Aufgabe besteht schließlich darin, die verschiedenen Lösungsmöglichkeiten miteinander zu vergleichen, ihre Parallelen und Unterschiede zu entdecken und darauf aufbauend funktionale Zusammen-hänge zwischen den einzelnen Möglichkeiten herauszuarbeiten. Ein exemplarisches Lösungsmuster der Auf-gabe besteht beispielsweise in einer 4-4-2-2-2-2-2 Aufteilung der Säckchen (vgl. Bildung-RP, 2017). Die folgende Abbildung 1 visualisiert eine mögliche Lösung nach diesem Schema.

Ziel ist es, dass die Schüler*innen aktiv entdeckend vorgehen und somit schließlich erkennen, dass eine Lö-sung durch Verschiebungen, Drehungen oder eine Spiegelung vervielfältigt werden kann. Damit die Schü-ler*innen solche Muster und Zusammenhänge zwischen den verschiedenen Lösungsmustern identifizieren, sind Kompetenzen im Bereich der „Kopfgeometrie“ (Krauthausen, 2018, S.122) erforderlich. Die folgende Abbildung 2 veranschaulicht verschiedene Variationen der beispielhaften Lösung:

Wenn die Grundschüler*innen diese Zusammenhänge herausarbeiten, eigene Strategien und Lösungsideen für die Aufgabe entwickeln und anschließend ihre Vorgehensweise verbalisieren, ist das Lernziel bereits erfüllt. Schließlich ist das Mathematiklernen in der Primarstufe primär auf „die Entwicklung eines gesicherten Verständnisses mathematischer Zusammenhänge“ (MfB, 2009, S.5) ausgerichtet. Die Anzahl aller Möglichkeiten zu berechnen bedarf komplexer kombinatorischer Kompetenzen, die im Mathematikunterricht der Primarstufe nicht erforderlich sind. Dennoch kann es eine spannende Herausforderung darstellen, die Schüler*innen durch Ausprobieren alle oder möglichst viele Kombinationen entdecken zu lassen.

2.Mess-Aufgabe

Das zweite Rätsel der vierten Phase der Lernumgebung kombiniert verschiedene Inhaltsbereiche der Mathematik miteinander. Dabei sind beim Lösen der Aufgabe wesentliche Inhalte der Leitideen „Zahl und Operation” (KMK, 2022, S.13), „Daten und Zufall” (ebd., S.17) sowie des Bereichs „Größen und Messen” (ebd., S.15) relevant, denn die Schüler*innen nutzen die Grundrechenarten der Addition und Division, rechnen mit Größenangaben und ermitteln auf diesem Wege schließlich den Durchschnitt als eine „statistische Kenngröße“ (Sill; Kurtzmann, 2019, S.117).

Um die durchschnittliche Körpergröße ihrer Gruppenmitglieder zu bestimmen, nutzen die Lernenden in einem ersten Schritt verschiedene standardisierte Messgeräte (hier: Maßband oder Metermaß) und messen die Körpergröße jedes Kindes sowie des Hundes. Die somit erworbenen Größenangaben des Größenbereichs der Längen setzen sich “aus einer Maßzahl und einer Maßeinheit” (Franke; Ruwisch, 2010, S.180) zusammen. Beim Messen von Längenmaßen verwenden die Schüler*innen die standardisierte Maßeinheit Meter (m) oder Zentimeter (cm), da diese Einheiten sich insbesondere für das Messen der Körpergröße eignen (vgl. ebd., S.181; S.193). Ist ein*e Schüler*in beispielsweise 1,40 m groß, so entspricht 1,40 der Maßzahl und das Symbol m repräsentiert die Maßeinheit Meter (vgl. ebd., S.180). Beim Umwandeln werden nun „durch Multiplikation (Verfeinern) mit oder Division (Vergröbern) durch Zehnerpotenzen weitere Einheiten abgeleitet“ (ebd., S.194).

Im zweiten Schritt der Aufgabe berechnen die Schüler*innen den Durchschnitt der Körpergröße ihrer Grup-penmitglieder. Der Durchschnitt wird in der Fachwissenschaft der Stochastik auch als das arithmetische Mittel bezeichnet, wobei in der Primarstufe vorwiegend die Bezeichnung “Durchschnitt” gewählt werden sollte (vgl. Sill; Kurtzmann, 2019, S.118). Das arithmetische Mittel zählt zu den statistischen Kenngrößen und ist folglich „eine Zahl, die zusammengefasste Eigenschaften der Daten beschreibt” (ebd.). Dabei wird das arithmetische Mittel der Kategorie der „Lagemaße“ (ebd.) zugeordnet, welche „die Lage der Verteilung” (ebd.) veranschau-lichen.

Das arithmetische Mittel gibt folglich den Durchschnitt oder auch Mittelwert aller Werte an (vgl. Krauthausen, 2018, S.165 f.). Im Mathematikunterricht der Primarstufe erlernen die Schüler*innen verschiedene Herange-hensweisen, das arithmetische Mittel zu bestimmen (vgl. Sill; Kurtzmann, 2019, S.119). Beispielsweise kann der Durchschnittswert „über das Ausgleichen der Werte“ (ebd., S.119) insbesondere auf enaktiver oder ikoni-scher Ebene ermittelt werden (vgl. ebd., S.119 f.). Sill und Kurtzmann (2019) liefern diesbezüglich verschie-dene Impulse für den Mathematikunterricht der Grundschule (vgl. S.119 f.) In dieser Lernumgebung bestimmen die Lernenden den Durchschnittswert jedoch rechnerisch. Dabei folgen sie dieser Regel: „Das arithmetische Mittel einer Menge von metrischen Daten ergibt sich, wenn die Summe aller Werte durch ihre Anzahl dividiert wird” (ebd., S.118). Darüber hinaus weisen Sill und Kurtzmann (2019) darauf hin, dass „Aufgaben zu[r] Ermittlung des arithmetischen Mittels [in der Primarstufe] […] nur gestellt werden [können], wenn der Quotient eine ganze Zahl ist.“ (Anm. d. Verf., S.118). Dies hängt damit zusammen, dass im Mathematikunterricht der Grundschule noch nicht mit „gebrochenen Zahlen“ (ebd.) ge-rechnet wird.

Mathematikdidaktischer Gehalt der Lernumgebung

Welche Befunde zu Vorgehensweisen oder typischen Fehlern/Hindernissen gibt es in der Literatur?

1.Die Säckchen-Aufgabe

Beim Lösen der ersten Aufgabe der Lernumgebung, welche der allgemeinmathematischen Kompetenz „Probleme mathematisch lösen“ (KMK, 2022, S.11) zuzuordnen ist, greifen die Lernenden auf verschiedene „heuristische Strategien“ (Krauthausen, 2018, S.17) zurück. Zunächst nähern sich die Schüler*innen dem mathematischen Problem durch zufälliges Probieren (vgl. ebd.). Laut Krauthausen (2018) ist eine solche Herangehensweise beim Lösen problemhaltiger Aufgaben charakteristisch und „jedem Grundschulkind [spontan] zugänglich“ (Anm. d. Verf., ebd.). Aus dem zu Beginn eher zufälligen Probieren entwickeln sich im Laufe der Bearbeitungszeit vermutlich vorläufige Strategien und erste Lösungsideen, sodass die Kinder zum systematischen Probieren übergehen (vgl. Benz et al., 2015 S.327). Insbesondere mathematisch begabte Schüler*innen besitzen laut Käpnick et al. (2005, 2011) eine „mathematische Sensibilität“ (zit. n. Krauthausen, 2018, S.280), die sich häufig in einem besonderen Gespür der Kinder für Muster und funktionale Zusammenhänge zeigt (vgl. ebd.). Der Aufbau der gesamten Lernumgebung ermöglicht den Lernenden ebenfalls, auf ihre Erkenntnisse und Lernstrategien aus der vorherigen Aufgabe zurückzugreifen, da hier eine ähnliche Problemstellung kreiert wird. Das bewusste Nutzen „frühere[r] Lernerfahrungen“ (Anm. d. Verf., ebd., S.17) kann auch zu den heuristischen Strategien beim Problemlösen gezählt werden. In der Mathematikdidaktik gilt in der Regel für gute Aufgaben, dass sie „auf verschiedenen Wegen und mit verschiedenen Mitteln“ (ebd., S.260) bearbeitbar sind. Dieser Grundsatz lässt sich auch auf die Säckchen-Aufgabe anwenden, da die Grundschüler*innen diese auf verschiedenen Repräsentationsebenen lösen können. Eine Schwierigkeit, die bei komplexen Problemaufgaben auftreten kann, ist das Gefühl von Überforderung oder Frustration, wenn die Schüler*innen die Aufgabe nicht alleine lösen können. Deshalb ist es wichtig, dass die Lehrperson ein positives Lernklima schafft und den Schüler*innen verschiedene Hilfen bei der Aufgabenbearbeitung zur Verfügung stellt. Krauthausen (2018) spricht diesbezüglich von sogenannten „»offene[n]« Hilfen“ (ebd., S.20). Diese unterscheiden sich von den klassischen „Ergebnisfindungshilfen“ (ebd.) und liefern keine inhaltlichen, sondern eher strategische Impulse (vgl. ebd.). Schließlich gilt: „Hindernisse im Lernprozess sind kein Anlass abzubrechen oder den Inhalt bis zur Trivialität zu vereinfachen, sondern zur selbstständigen Entwicklung von Lösungsstrategien“ (ebd., S.261). Im Rahmen der konzipierten Lernumgebung können die Lernenden bei Schwierigkeiten auf vorbereitete Tippkarten zurückgreifen, welche das kreative Denken der Kinder anregen.

2.Die Mess-Aufgabe

Insbesondere bei der Mess-Aufgabe, die unter anderem dem inhaltlichen Kompetenzbereich „Größen und Messen“ (KMK, 2022, S.15) zuzuordnen ist, ist es wichtig, dass die Schüler*innen bereits realistische Größenvorstellungen zum Größenbereich „Längen“ besitzen, denn nur so ist gewährleistet, dass sie adäquat mit Längenmaßen in Sachsituationen umgehen können (vgl. ebd.).

Den Größenbereich „Längen“ kennzeichnet eine Besonderheit: „Die physikalische Eigenschaft „Länge“ ist [für Kinder] einfach zu erfassen.“ (Anm. d. Verf., Franke; Ruwisch, 2010, S.204). Da die jungen Lernenden zusätzlich mit Längenmaßen (zum Beispiel ihrer Körpergröße) häufig in ihrem Alltag in Verbindung kommen, entwickeln sie bereits früh erste realistische Größenvorstellungen zu diesem Größenbereich (vgl. Benz et al., 2015, S.227). Dennoch darf dies nicht als selbstverständlich gelten und der Mathematikunterricht sollte stets das Vorwissen der Schüler*innen ermitteln und darauf aufbauend an ihre bisherigen Erfahrungen anknüpfen (vgl. Franke, Ruwisch, 2010, S.207). Da in diesem Fall jedoch von Schüler*innen mit einer besonderen mathematischen Begabung auszugehen ist, die zudem Klassenstufe drei oder vier besuchen, werden realistische Größenvorstellung der Grundschüler*innen vorausgesetzt.

Das Messen der Körpergröße der verschiedenen Gruppenmitglieder bildet einen wichtigen Teilaspekt der zweiten Aufgabe. Hierbei sollten die Schüler*innen die Kernideen des Messvorgangs nach Peter-Koop und Nührenbörger (2008) verinnerlicht haben und in der Realsituation anwenden (vgl. Peter-Koop, Nührenbörger, 2008, zit. n. Benz et al., 2015, S.234).

In einem ersten Schritt wählen die Schüler*innen eine „geeignete und passende“ (ebd.) Einheit für das zu messende Objekt. Anschließend wird diese Einheit am zu messenden Objekt „ohne Zwischenräume und Überlappungen hintereinander abgetragen“ (ebd.). In einem letzten Schritt zählen die Schüler*innen die Anzahl an Einheiten und Untereinheiten und bestimmen so das Messergebnis (vgl. ebd., S.235). Probleme und Schwierigkeiten beim Messen können dann auftreten, wenn Schüler*innen beispielsweise mit einem Messgerät und dessen Skalierung nicht vertraut sind, ein unpassendes Messgerät oder eine unpassende Einheit wählen. Darüber hinaus könnte es zu Unstimmigkeiten in den Ergebnissen kommen, wenn die Schüler*innen selbst gewählte und nicht standardisierte Einheiten zum Messen der Körpergröße nutzen. Obwohl das Messen mit nicht standardisierten Einheiten den Grundschüler*innen nachhaltige Messerfahrungen ermöglichen kann, ist es notwendig, bei dieser Rechenaufgabe auf standardisierte Maßeinheiten zurückzugreifen, um eine Vergleichbarkeit der Messergebnisse zu gewährleisten (vgl. Franke; Ruwisch, 2010, S.190). Weitere Schwierigkeiten können entstehen, wenn die Schüler*innen die erforderliche „Messgenauigkeit“ (ebd., S.193) beim Messen missachten. Durch eine gute Planung und Vorbereitung kann diesen Schwierigkeiten jedoch vorgebeugt werden, indem den Lernenden von Beginn an sinnvolle Messgeräte zur Verfügung gestellt werden.

Nach dem Messen der Körpergrößen berechnen die Kinder die durchschnittliche Körpergröße ihrer Lerngruppe. Hierfür ermitteln sie zunächst die Summe aller Messwerte. Die Schüler*innen addieren nun mehrere „Größen derselben Art“ (ebd., S.201) und dividieren die Größenangabe schließlich mit einer ganzen Zahl. Franke und Ruwisch (2010) betonen im Zusammenhang zum Rechnen mit Größen: „Formales Rechnen mit Größenangaben in derselben Einheit unterscheidet sich kaum vom Zahlenrechnen […]“ (S.202), weshalb hierbei keine Schwierigkeiten auftreten sollten. Die Schüler*innen können an dieser Stelle verschiedene Rechenwege wählen. Beispielsweise können sie die Summe der Körpergrößen im Kopf berechnen oder diese schriftlich addieren. Bei den schriftlichen Rechenverfahren gelten beim Rechnen mit Größenangaben, also Dezimalzahlen, zwei Regeln (vgl. Müller-Wolfangel; Schreiber, 2014, S.120 f.), die auch auf die schriftliche Division anwendbar sind: Es kann mit und ohne Dezimalzahl gerechnet werden (vgl. ebd.). Indem eine Dezimalzahl in die nächstkleinere Einheit umgewandelt wird, fällt das Komma weg und es wird ohne Komma gerechnet (vgl. ebd.).

An den individuellen Lernvoraussetzungen der Dritt- und Viertklässler*innen ist abzuwägen, ob diese die Durchschnittsgröße mittels schriftlicher Rechenverfahren ermitteln können. Falls die Lernenden beispielsweise die schriftliche Division noch nicht beherrschen, muss auf ein anderes Vorgehen zurückgegriffen werden. In diesem Fall ist es sinnvoll, die Körpergrößen der Schüler*innen auf- oder abzurunden und den ungefähren Durchschnitt im Kopf zu berechnen.

Zusätzlich weist Krauthausen (2018) darauf hin, dass junge Lernende zu Beginn oft Schwierigkeiten haben, ein tatsächliches Verständnis für den Durchschnitt mehrerer Daten zu entwickeln (vgl. S.166). Grundsätzlich besteht die Gefahr, dass die Grundschüler*innen „die Berechnung des arithmetischen Mittels als eine rein formale, nahezu algorithmische Technik“ (ebd.) zwar beherrschen, aber dennoch nicht verstehen, was dieser Wert repräsentiert (vgl. Spiegel, 1985, S.16 zit. n. ebd.). Viel wichtiger als die reine Berechnung des arithmetischen Mittels ist daher, dass die Schüler*innen ein fundiertes Verständnis für die Bedeutung des Durchschnitts oder Mittelwerts aufbauen (vgl. ebd.). Dies kann durch eine anschließende Reflexion der Aufgabe und des individuellen Vorgehens angebahnt werden.

„Gute“ Aufgaben & Differenzierung

1. Analyse der Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge nach den Kriterien „guter“ Aufgaben zum Lernen:

a. Mathematische Ergiebigkeit (Kompetenzorientierung)

b. Offenheit & optimale Passung

c. Authentizität, Aktivierung & Motivation

d. Verständlichkeit

Die Säckchen- sowie die Mess-Aufgabe berücksichtigen die Kriterien guter Aufgaben folgendermaßen:

a. Mathematische Ergiebigkeit (Kompetenzorientierung)

Gemäß dieses Kriteriums sollen Aufgaben der Förderung inhaltlicher sowie allgemeiner mathematischer Kompetenzen dienen (vgl. Maier, 2011, zit. nach Platz, 2020, S. 45). Die Säckchen-Aufgabe fokussiert die allgemeine mathematische Kompetenz “Probleme mathematisch lösen” (KMK, 2020, S. 10), denn die Aufgabe kann “mit vorhandenen Kenntnissen und Fähigkeiten nicht routiniert gelöst werden” (ebd.). Die Lernenden stehen demnach zunächst vor einem `Problem`, welches durch die Entwicklung neuer Lösungsansätze bewältigt werden muss. Dabei verwenden sie beispielsweise die heuristische Strategie des systematischen Probierens (vgl. ebd. S. 10) und greifen sie auf verschiedene Möglichkeiten der Musterlegung zurück. Dabei werden auch Zusammenhänge erkannt und Lösungsmöglichkeiten systematisch abgewandelt. Demnach wird die inhaltliche Kompetenz “Muster, Strukturen und funktionaler Zusammenhang” (KMK, 2020, S. 15) aufgegriffen und gefördert. Solche Aufgaben, “die zum Entdecken von Mustern und Beziehungen oder zum Formulieren von Verallgemeinerungen anregen, erfüllen das Merkmal der Ergiebigkeit von vornherein” (Maier, 2011, S. 83, zit. nach Platz, 2020, S. 45). Die Mess-Aufgabe zielt auf die Förderung der inhaltlichen Kompetenzen “Größen und Messen” (ebd.) sowie “Zahl und Operation” (ebd. S. 13) ab, da zunächst die Körpergröße der Gruppenmitglieder gemessen sowie anschließend die Durchschnittsgröße errechnet werden muss. Durch die Bestimmung des arithmetischen Mittels wird ebenfalls der Kompetenzbereich “Daten und Zufall” (ebd., S. 17) angesprochen. Hinsichtlich der allgemeinen mathematischen Kompetenzen erfolgt eine Fokussierung auf die Arbeit mit mathematischen Objekten und Werkzeugen (vgl. ebd., S. 12). Der Umgang mit mathematischen Objekten wie beispielsweise Zahlen und Einheiten sowie mit den mathematischen Werkzeugen, den Messinstrumenten, wird geschult (vgl. ebd.).

b. Offenheit & optimale Passung

Die Offenheit ergibt sich bei der Säckchen-Aufgabe durch die Möglichkeit verschiedener Lösungswege (vgl. Maier, 2011, zit. nach Platz, 2020, 46). Gleichzeitig besteht hier die Möglichkeit, verschiedene Darstellungsformen zuzulassen. Dazu kann neben der Notation auf dem Arbeitsblatt auch enaktives Handeln durch das Legen von Plättchen in ein kleines Feld erfolgen. Um eine optimale Passung zu erzielen, dienen Tippkarten als Differenzierungsmaßnahme. Diese verhelfen den Schüler*innen durch kleine Hinweise bei der weiteren Bearbeitung und wirken dadurch einer Überforderung entgegen. Die Offenheit der Mess-Aufgabe ergibt sich durch verschiedene Möglichkeiten im Messvorgang des Hundes sowie der Berechnung der Durchschnittsgröße. Den Schüler*innen ist es freigestellt, in welcher Position sie den Hund messen, wodurch sich unterschiedliche Rechenwerte ergeben können. Bei der Berechnung können die Lernenden entweder in Zentimetern, und damit ohne Kommazahlen, oder in Metern rechnen, wodurch der Umgang mit Kommazahlen nötig wird. Demnach kann die Schwierigkeit im Rechenprozess variiert werden. Auch hier ergibt sich durch die Differenzierungsmöglichkeit über Tippkarten eine optimale Passung, indem sie Lernenden Hilfestellung in Anspruch nehmen können.

c. Authentizität, Aktivierung & Motivation

Die gestellten Aufgaben stellen die Schüler*innen vor mathematische Herausforderungen und motivieren zur Lösung der Rätsel. Die Rahmenhandlung der Ausbildung zum Saargenten motiviert die Lernenden zusätzlich und bettet die Aufgaben in eine authentische und logische Geschichte ein. Das selbstständige und explorative Arbeiten an Aufgaben, die “den Inhalten des Faches [Mathematik] entsprechen” (Maier, 2011, zit. nach Platz, 2020, S. 46) sorgt für Authentizität, Aktivierung und Motivation (vgl. ebd.). Der Umgang mit dem Hund, welcher zur Lösung notwendig ist, motiviert die Kinder zusätzlich.

d. Verständlichkeit

Das Verständnis “der sprachlichen Syntax und der semantischen Zusammenhänge” (Maier, 2011, zit. nach Platz, 2020, S. 46) wird durch die Besprechung der Aufgaben in der Gruppe gewährleistet. Die Aufgabenstellungen werden zunächst von einem / einer Teilnehmer*in laut vorgelesen, danach semantisch zusammengefasst und aufkommende Fragen besprochen. Die Du-Ansprache, präzise Formulierungen sowie nutzbare Tipps sichern das Verständnis zusätzlich.

Artikulation, Kommunikation, Soziale Organisation

Inwiefern werden die Artikulationsoptionen Handeln, Sprechen und Schreiben ausgenutzt?

In der vorliegenden Phase vier der Lernumgebung, werden die Artikulationsoptionen Handeln, Sprechen und Schreiben gleichermaßen gefördert und gefordert (vgl. Wollring, 2008). Beide Rätsel erfordern eine hohe handelnde Initiative der Schüler*innen, um die fehlenden Zahlen des Zahlencodes zu finden. Die Schüler*innen müssen bei der Säckchen-Aufgabe zuerst in Eigeninitiative mögliche Legeoptionen finden und im Anschluss daran eine Option gemeinsam als Gruppe testen. Anschließend werden sie bei der Mess-Aufgabe handelnd tätig, indem sie sich gegenseitig und gemeinsam in Paaren den Hund ausmessen. Durch das Lösen der Rätsel in der Gruppe, ist die Kommunikation untereinander ein wesentlicher Faktor (ebd.). Nicht nur sollen sie sich bei der Säckchen-Aufgabe auf eine Lösung einigen, sondern auch das Ergebnis in das finale Feld legen, wozu die Korrespondenz untereinander unabdingbar ist. Ebenso ist es bei der Messung der Körpergrößen relevant,miteinander zu kommunizieren, um sich die Ergebnisse mitzuteilen und somit ein effizientes Handeln zu ga- rantieren. Die Artikulationsform Schreiben ergibt sich durch das Ausprobieren und Notieren der verschiedenen Legemöglichkeiten der Säckchen, wie auch bei dem Festhalten und Ausrechnen der verschiedenen Körpergrößen und des Durchschnitts (ebd.).

Wird Raum zum Gestalten und Raum zum Behalten gelassen?

Die Lernumgebung ermöglicht den Schüler*innen sich frei und flexibel auszuprobieren und schafft so genug Raum zum Gestalten und erfordert gleichermaßen die Dokumentation der (Zwischen-) Ergebnisse, wodurch auch der Raum zum Behalten garantiert wird (ebd.). Der „Spiel-Raum“, wird dadurch gewährleistet, dass so wenig wie möglich durch die Studierenden eingegriffen und vorgegeben wird. Das erste Rätsel der Phase gibt den Schüler*innen die Möglichkeit viele verschiedene Ergebnisse und Muster zu finden. Es soll sich zwar auf ein Muster geeinigt werden, jedoch werden bei der Einzelarbeit viele Möglichkeiten gefunden, welche allesamt richtig, aber dennoch unterschiedlich sind. Gleichsam sind die Schüler*innen bei der Mess-Aufgabe frei in ihrem Vorgehen, indem sie zwischen verschiedenen Messinstrumenten wählen können und auch selbst entscheiden, wer wen ausmisst und wie sie die Ergebnisse dokumentieren wollen. Der Raum des Behaltens, wel- cher durch die Dokumentation dargestellt wird, ereignet sich durch das Festhalten, Probieren und Verwerfen der Ideen auf den Arbeitsblättern (ebd.). Die Schüler*innen haben so die Chance, ihre möglichen Muster zum Lösen der Säckchen-Aufgabe festzuhalten und selbstständig zu schauen, wie viele Lösungen sie finden kön- nen. Gleichzeitig können die Schüler*innen Gesetzmäßigkeiten feststellen, indem sie die verschiedenen Muster auf ihrem und mit den Arbeitsblättern ihrer Mitschüler*innen vergleichen. Dazu dienen die Arbeitsblätter bei der Bearbeitung des zweiten Rätsels, die verschiedenen Körpergrößen der Kinder samt Namen zu notieren und diese Zwischenergebnisse zum Berechnen des Durchschnitts zu nutzen.

Welche Sozialformen werden verwendet?

Die Wahl der Korrespondenz entscheidet mitunter über die Wahl der Sozialform und auch umgekehrt (ebd.). Da es ein Anliegen der Lernumgebung ist, die Ausbildung zum Saargenten als Gruppe zu absolvieren und daher auch die Aufgaben in Gruppenarbeit bearbeitet werden, ist das Sprechen als Artikulationsform relevant und gleichgestellt mit dem Handeln und Schreiben (ebd.). Lediglich zu Beginn der Säckchen-Aufgabe wird die Einzelarbeit als Sozialform festgelegt, um den Schüler*innen die Chance zu geben, erst einmal selbst sich mit dem Rätsel vertraut zu machen und Lösungen zu finden, bis sich in der Gruppe darauf geeinigt wird. Auch die Partnerarbeit ist eine Sozialform der Phase, die sich jedoch eher aus der Zusammenarbeit der Schüler*innen während des zweiten Rätsels ergibt, als dass sie als Arbeitsweise festgelegt ist.

Wie wird die Schlusssequenz im Sinne einer gemeinsamen Reflexion mit den Schülerinnen und Schülern gestaltet?

Die letzte Phase der Lernumgebung stellt die Reflexion des Tages und das Lösen des Zahlencodes dar, weshalb es in der vorliegenden Phase vier kein zentrales Anliegen ist, eine ausführliche Reflexion der Aufgaben zu gestalten. Dennoch erfolgt bereits während und zum Ende jedes Rätsels eine kurze Reflexion durch den ständigen Austausch der Schüler*innen und der Kontrolle des Ergebnisses. So müssen die Schüler*innen beispielsweise ihre Vorgehensweise bei der Suche nach einem geeigneten Muster reflektieren und ihre Möglichkeiten untereinander vergleichen, um auf eine gemeinsame Lösung zu kommen, die anschließend auf dem großen Feld erprobt wird. Ebenso findet eine Reflexion bereits während dem Messen der Kinder und des Hundes statt,da beispielsweise verschiedene Messinstrumente genutzt werden können, die unterschiedlicher Anwendungsweisen bedürfen oder auch mit Dezimalzahlen oder unterschiedlichen Maßeinheiten gerechnet werden kann.

Potenzial des Einsatzes von Materialien

Welches investive Material wird benötigt?

Für die gesamte Phase der Lernumgebung benötigen die Kinder jeweils einen Stift, ein Klemmbrett und ein Sitzkissen. Weiterhin werden die Leckerlis und Kommandokarten für den Umgang mit dem Hund benötigt. Um die Säckchen-Aufgabe vorzubereiten, wird etwa Straßenkreide zur Kennzeichnung des Quadratfeldes von Nöten. Zur Aufgabendurchführung werden ein Tragekorb zur Arbeit mit dem Hund sowie vierzehn Säckchen gebraucht. Diverse Messinstrumente sollten den Kindern zur Bearbeitung des dritten Rätsels angeboten werden.

An welcher Stelle wird der Umgang mit den Arbeitsmitteln und dem Hund von den Kindern erlernt?

Im Einstieg der Gesamtphase werden die Kinder in der Leinenführung mit dem Hund unterrichtet. Bezüglich der Säckchen-Aufgabe lernen die Kinder den Umgang mit den jeweiligen Arbeitsmitteln je nach Arbeitsschritt über den Verlauf der Aufgabe hinweg. So erfahren sie auch im späteren Laufe der Aufgabe, wie sie das Körbchen von dem Hund annehmen sollen. Zu Beginn der Mess-Aufgabe verstehen die Kinder, wofür sie die passenden Arbeitsblätter und die Messinstrumente nutzen sollen. Ebenso werden frühzeitig die Regeln zu Messen des Hundes klargestellt.

Welches konsumtive Material wird benötigt?

Im allgemeinen Kontext zählen zu dieser Materialsammlung die Bilder des Hundes an den einzelnen Aufga- benorten, die Karten mit den Lösungszahlen zum Abschlussrätsel sowie die individuellen Din A6-Karten zu den Rätseln als Verweise zu den Aufgabenstationen. Hinsichtlich der Säckchen-Aufgabe bilden die Arbeits- blätter, die Tippkarten und das Plakat mit den Kartonsäckchen zum Aufkleben das konsumtive Material. Ebenso umfasst die Mess-Aufgabe eigene Arbeitsblätter mit entsprechenden Tippkarten.

Wie organisieren Sie das Material? Welche Vor- und Nachteile hat die jeweilige Organisation des Materials?

Die Kommandokarten können als laminierte Din A6-Blätter mit Klebestreifen oder Magneten leicht an verschiedenen Stellen, zum Beispiel an Wänden, befestigt und anschließend wieder mitgenommen werden. Grundlegende Materialien zur Aufgabenbearbeitung, wie die Klemmbretter, die Stifte und die Kissen können vorteilhaft mobil von einer Aufgabenstation zur anderen transportiert werden. Dabei sollte lediglich in Betracht gezogen werden, dass dasjenige Kind, das gerade den Hund an der Leine mitführt, nicht gleichzeitig noch seine Grundlagenmaterialien tragen kann. Für den Zeitraum sollte dies jemand anderes übernehmen. Bei der Säckchen-Aufgabe bestimmen die räumliche Anordnung und der generelle Instruktionsverlauf die materialor- ganisatorische Komponente. Anfangs liegen direkt vorne die Kissen und die Arbeitsblätter im Blick auf das Quadratfeld angeordnet. Das hinter dem Feld hängende, vorbereitete Plakat zur Lösungsversion sowie die Körbe mit den Säckchen befinden sich während der individuellen Bearbeitungsphase der Kinder noch nicht in deren direktem Blickfeld. Ein möglicher Nachteil kann bei der Durchführung bei Regenwetter entstehen. Da die Aufgabe vorzugsweise draußen ausgeführt wird, könnte der Regen im Falle einer mangelnden Überdachung die Materialien beschädigen. Zur Mess-Aufgabe werden alle vorbereiteten Messgeräte und auch die Arbeitsblätter in der Mitte des räumlichen Ortes gesammelt. So kann gleich zu Beginn eine Übersicht geboten werden. Als nachteilhaft könnte sich diesbezüglich wiederum eine mögliche visuelle Überforderung der Kinder durch die vielseitig, direkt präsentierten Angebote zur Herangehensweise erweisen, oder auch durch zu viele Vorgaben respektive zu wenig Kreativitätsoffenheit. Eine Abwägung je nach Charakter der Lerngruppe wäre folglich von Nöten.

In welcher Funktion werden die Arbeitsmittel jeweils eingesetzt?

Die Nutzung von Arbeitsmitteln kann mehrere Zwecke verfolgen und der Ausführung von Aufgaben somit vielseitig funktional dienen (vgl. Krauthausen, 2018, S. 327 ff.). So dienen etwa die Säckchen bei der Säck- chen-Aufgabe zum einen der repräsentativen Zahldarstellung als Einheiten und zum anderen der Funktion des Argumentierens respektive des Beweisens. Dies würde zum Beispiel auch als Differenzierungsoption beim individuellen Lösungsfindungsprozess in Form von Plättchen auf kleinen Quadratfeldern funktionieren, indem die Kinder enaktiv die korrekten Verteilungen ihrer ‘Säckchen’ begründen könnten. Im Zuge der Mess-Auf- gabe unterstützen sowohl die freien Notationsfelder auf den Arbeitsblättern als auch die verschiedenen Mess- geräte die Kinder beim Rechnen, also beim Ausführen der einzelnen Aufgabenstellungen.

Welche fachdidaktischen Potenziale bringen die Arbeitsmittel mit?

Über den gesamten Phasenverlauf hinweg dient das Geben der Leckerlis als kontinuierliche Übung für die Kinder zum therapeutisch basierten, vertrauensvollen Umgang mit dem Hund (vgl. Blesch, 2020, S. 39 ff.). Die Gestaltung kleiner ‘Lernbüros’, die auch mobil draußen durch die Kissen, Klemmbretter und eigenen Stifte realisiert werden können, fördern die Individualisierung der Kinder und derer Tätigkeitsprozesse (vgl. Lipowsky & Lotz, 2015, S. 155 ff.). Zur Umsetzung der Säckchen-Aufgabe werden diverse Darstellungsformen des Quadratfeldes miteingebunden. Auf diese Art werden sowohl ikonische als auch enaktive Betrachtungen der Lösungsmuster erlaubt und wahrnehmungsbezogen unterstützt (vgl. Krauthausen, 2018, S. 327 ff.). Diverse Messgeräte, die bei der Mess-Aufgabe von den Kindern zum Einsatz frei wählbar sind, führen zur Erweiterung der Kenntnisse bezüglich des Bereichs der Größen und des Messens (vgl. KMK, 2022, S. 15 f.). Bezüglich der Erfüllung der Gütekriterien für verwendete Arbeitsmittel erfüllt die Phase der Lernumgebung diverse Punkte über den Zeitverlauf hinweg (vgl. Krauthausen, 2018, S. 334 f.). So erlaubt die Zweier-Verteilung bei der Säckchen-Aufgabe eine hilfreiche Simultanerfassung dieser. Die Ikonisierung des Aufgabensystems bildet dessen Grundlage. Individuelle Bearbeitungs- und Lösungswege erlauben den Kindern, alleine auf Ergebnisse zu kommen, diese dann aber auch nach der initialen heuristischen Begegnung kommunikativ und argumentativ in der Gesamtgruppe zu analysieren. Im Zuge der Mess-Aufgabe werden mit der Größenbetrachtung und dem schriftlichen Rechnen diverse Inhaltsbereiche kombiniert. Weiterhin können die Kinder unter Nutzung der verschiedenen Messgeräte in unterschiedlichen Arbeits- und Sozialformen handeln. Insgesamt erlauben sowohl die Säckchen als auch die Messgeräte und die Arbeitsblätter eine umsetzungsfreundliche organisatorische Handhabung, einen motorisch erfüllbaren Umgang für die Kinder (gerade die weichen Säckchen) und einen erfüllbaren Rahmen hinsichtlich des umfassenden Preis-Leistungs-Verhältnisses (Wiederverwendbarkeit der Materialien).

Stimmt das „Preis-Leistungs-Verhältnis“ der Lernumgebung, sodass keine Unausgewogenheit an Material und Zeitaufwand spürbar wird?

Die Arbeitsblätter- und Tippkartengestaltung ist mit Druck- und Laminierungskosten verbunden, jedoch sind zum Beispiel die Kommando- und die Lösungszahlkarten auf jeden Fall vielseitig wiederverwendbar, Für die Farbbilder des Hundes kommen ebenfalls Druckkosten auf, allerdings könnte man hierzu auch alternativ eine digitale Variante zur Visualisierung nutzen. Die Aufsteller für die Rätselkarten, die Klemmbretter, Stifte und Sitzkissen zählen oftmals schon zum eigenen Bestand und können allesamt häufig wiederverwendet werden. Für die Säckchen-Aufgabe müssten die Körbe, die vierzehn Säckchen und die Straßenkreide besorgt werden, die Kostenfrage ist markenabhängig, die Wiederverwendbarkeit ist zum Teil gegeben. Das Vorbereiten beziehungsweise Aufmalen des Quadratfeldes kann sich je nach Untergrund mit oder ohne Orientierungspunkten als mehr oder weniger zeitaufwendig herausstellen. Die Erstellung des Plakats und der Kartonsäckchen kann insbesondere zeitaufwendig sein und die Materialien sind nicht immer wiederverwendbar. Diverse Messgeräte zur Mess-Aufgabe können leicht aus dem eigenen Besitz der Lehrperson oder auch von dem Zuhause der Kinder mitgebracht werden.

Wieviel Zuwendung der Lehrperson ist notwendig und kann fehlende Zuwendung der Lehrperson durch sachbezogene und erfolgreiche Kooperation der Kinder ausgeglichen werden?

Um die Aufgabenbearbeitungen einzuleiten, sollte die Lehrperson auf die anleitenden und hilfreichen Materialien, wie insbesondere auch die Tippkarten, verweisen. Sie sollte weiterhin unbedingt als konstante Begleitperson im Umgang mit dem Hund bei den Kindern sein. Hinsichtlich der Säckchen-Aufgabe kann die Lehrperson die Lösungsansätze der Kinder mitüberprüfen, allerdings ist dies auch je nach Lerngruppe alleinig über deren interne Kooperation möglich. Bei der Mess-Aufgabe könnte es hilfreich sein, dass die Lehrperson die Kinder bei der Berechnung der Durchschnittsgröße der Gruppe unterstützt, insbesondere wenn jenen die Vorgehensweise noch größtenteils unbekannt wäre. Jedoch bieten hier wiederum auch die Tippkarten und Kooperationsgefüge hilfreiche Anknüpfungspunkte.

Evaluation

Ermöglicht die Lernumgebung das Erzeugen von Strategiedokumenten?

Ja, das Erzeugen von Strategiedokumenten wird durch die Lernumgebung ermöglicht (vgl. Wollring, 2008, S. 11 f.). Die Herangehensweise der einzelnen Kinder an das Herausfinden des Rätselverstecks über die Fotografie des Hundes ist an ebendiesen beiden Stellen der Phase aussagekräftig über deren Strategie. Bei der Säckchen-Aufgabe geht es zunächst um die Herangehensweise an das Finden der individuellen Einzellösungen und danach an die individuelle und initiale Herangehensweise an das Finden einer gemeinsamen Gruppenlösung durch das Bedenken diverser Vor- und Nachteile. An die Mess-Aufgabe gehen die Kinder individuell über die generelle Messreihenfolge, die Aufteilung der Messteams, die Beachtung der verschiedenen Optionen an Messgeräten sowie die Auswahl der strategischen Berechnungsart der Durchschnittsgröße heran.

Kann identifiziert werden, was an einer Schülerlösung anerkennenswert ist?

Ja, auch der Anerkennungswert kann hierbei identifiziert werden (vgl. ebd.). Eine angemessene, aufmerksame Beachtung der Aufgabenstellung respektive des Hauptproblems ist allgemein bei jedem Individuum anerkennenswert. Außerdem gilt dies für die Kontinuität in der Zwischenreflexion des eigenen Arbeitsweges und auch des Prozesses der Gesamtgruppendynamik. Darüber hinaus sollte darauf geachtet werden, inwieweit die Kinder in ihren Lösungen kreative Einfälle und Ideen miteinbinden. Bei der Säckchen-Aufgabe können die Kinder diverse Lösungsansätze, Muster und Feldschemata variationsreich ausprobieren. Im Zuge der Mess-Aufgabe sollte der Grundsatz der Messgenauigkeit und des konzentrierten Umgangs mit Zahlen von den Individuen beachtet werden.

Kann identifiziert werden, welche Leistungen zum sozialen Lernen beitragen?

Ja, der Beitrag zum sozialen Lernen kann wie folgt identifiziert werden (vgl. ebd.). Im Allgemeinen ist der Umgang eines Individuums mit den anderen Gruppenmitgliedern und mit dem Hund zu beachten, ebenso wie Eigenanstrengungen zur Erhaltung der Gruppendynamik. Gerade bei der Säckchen-Aufgabe kann das Finden und Auslegen der gemeinsamen Lösungsversion in Bezug auf kommunikations- und raumbezogene Komponenten evaluiert werden. Mit der darauffolgenden Mess-Aufgabe sollten die Kinder insbesondere die Möglichkeit verschiedenartiger Ergebnisse aufgrund von verschiedenstarken Messgenauigkeiten oder Rechenfehlern empathisch respektieren und verstehen.

Vernetzung mit anderen Lernumgebungen

Bietet die Lernumgebungen Beziehungen zu anderen Strategien im selben mathematischen Problemfeld? (Sind spezielle Lehr- und Lernaktivitäten vor und nach der Lernumgebung möglich/ notwendig? Wie könnten weiterführende Aufgabenstellungen lauten?)

Vor der Durchführung der Säckchen-Aufgabe eignet sich besonders die Anwendung der sogenannten Nuss-Aufgabe. Diese sieht ein Quadrat aus 36 Nüssen vor, von dem sechs Nüsse so weggenommen werden sollen, dass in jeder Spalte und Zeile eine gerade Anzahl an Nüssen übrigbleibt. Jene Aufgabe findet in der vorherigen Phase der geplanten Lernumgebung Anwendung und bringt einen geringeren Schwierigkeitsgrad als die Säckchen-Aufgabe mit sich. Aufgrund der Ähnlichkeit der beiden Rätsel eignet sich die kombinierte Anwendung und die Nuss-Aufgabe kann als vorangestellte Übung betrachtet werden. Des Weiteren sollten die Schüler*innen in vorherigen Lehr- und Lerntätigkeiten verschiedene heuristische Strategien kennenlernen sowie deren Anwendung in problemhaltigen Aufgaben gewöhnt sein. So können Rätsel beispielsweise durch das Systematische Probieren, das Vereinfachen der Fragestellung oder die Zerlegung in Teilprobleme gelöst werden (vgl. Krauthausen, 2018, S. 17). Vor der Mess-Aufgabe sollten die Lernenden bereits verschiedene Messungen mit Hilfe der Messinstrumente durchgeführt haben sowie das arithmetische Mittel kennen. Als anbahnende Lerntätigkeit vor der Mess-Aufgabe wäre zudem die Ordnung der Schüler/innen nach ihrer Größe möglich. Im Anschluss an die Säckchen-Aufgabe besteht die Möglichkeit diese auszubauen, indem die Lernenden ihre gefundene Lösung systematisch variieren und versuchen, alle möglichen Lösungen zu finden. Dabei kann auch auf Gemeinsamkeiten und mögliche Unterschiede der Lösungen eingegangen und ein Lösungsschema gefunden werden. Nach der Mess-Aufgabe wäre es möglich, auch beispielsweise das Gewicht aller Rucksäcke oder das Alter der Teilnehmenden zu erfassen und hieraus das arithmetische Mittel zu bilden. Gleichzeitig kann eine Berechnung einmal ohne sowie mit den Werten des Hundes erfolgen, um den Einfluss auf das arithmetische Mittel genauer zu erforschen.

Gibt es Beziehungen zu anderen Bereichen im Mathematikunterricht?

Beide Aufgaben haben Beziehungen zu zahlreichen Bereichen des Mathematikunterrichts. Die Säckchen-Aufgabe beinhaltet durch die Variation der Lösungsmuster, beispielsweise bei Spiegelung oder Drehung, Verknüpfungen zur Geometrie (vgl. Krauthausen, 2018, S. 95ff.). Der Zahlenraum sowie die Zählvorgänge sind der Arithmetik zuzuordnen (vgl. ebd., S. 40ff.). Durch die Textform der Aufgabenstellung gibt es zudem Bezüge zum Sachrechnen (vgl. ebd., S. 134). Bei der Mess-Aufgabe herrschen dieselben Bezüge zum Sachrechnen. Das Messen der Körpergrößen ist der Geometrie zuzuordnen (vgl. ebd., S. 102) und die Durchführung von Rechenoperationen der Arithmetik (vgl. ebd., S. 62ff.).

Gibt es Beziehungen zu anderen Fächern?

Grundlage zur Lösung der beiden Aufgaben ist das Leseverständnis, zum Erfassen der Aufgabenstellung. Demnach ist das sinnentnehmende Lesen, welches im Fach Deutsch gelehrt wird, maßgebend. Das Verstehen des Hundes sowie das Lernen der Umgangsregeln ist der Tierlehre und somit dem Sachunterricht der Grundschule zuzuordnen (vgl. Saarland, 2010, S. 24).

Gibt es Beziehungen zur außerschulischen Lebenswelt?

Das Thema “Agenten” kennen die Teilnehmer*innen vermutlich aus Filmen und Serien. Es kommt demnach indirekt im Alltag der Schüler/innen vor. Der Umgang mit Hunden ist vielen Kindern ebenfalls bekannt, da einige zuhause, bei Verwandten oder bei Freunden mit Hunden konfrontiert werden. Auch hier gibt es demnach Vorerfahrungen aus dem Alltag. Das Knobeln sowie die Bearbeitung von (eventuell nicht sofort lösbaren) Rätseln kennen die Kinder aus Rätselheften aller Art. Die Mess-Aufgabe greift ebenfalls viele Lebensweltbezüge auf. Die Kinder kennen Längen aus ihrem Alltag und das Messen von verschiedenen Längen findet dort ebenfalls Einzug. Sie haben daher oft bereits aus ihrem Alltag gute Vorstellungen von diesen Größen (vgl. Franke & Ruwisch, 2010, S. 172).

Reflexion der Lernumgebung

Welche Aspekte der Durchführung können problematisch werden (Stolpersteine, d.h. kleinere Probleme, die direkt behoben werden können)?

Es sind verschiedene Hindernisse und Probleme im Vorhinein zu beachten, die spezifisch bei der Durchführung der Säckchen-Aufgabe oder der Mess-Aufgabe auftreten können. Zu Beginn jeder Aufgabe sollte das Material gut vorbereitet sein, um Unterbrechungen bei der Durchführung zu vermeiden. Dazu ist es bei der Säckchen-Aufgabe relevant, auf das Wetter zu achten, sofern das Rätsel an einem Ort im Freien bearbeitet werden soll. Sollte das Wetter für die Umsetzung der Aufgabe nicht geeignet sein, sollte ein möglichst großer und ungestörter Raum in einem Gebäude gefunden werden. Ein ruhiger Ort ist auch maßgeblich für die Arbeit mit dem Hund. Dieser sollte darauf trainiert werden, sich nicht von umliegenden Geräuschen und Bewegungen stören zu lassen. Zeitliche Verzögerungen müssen jedoch bei der Arbeit mit einem Hund immer miteinberechnet werden, da es bei dem Legen von den Säckchen oder bei dem Messen der Körpergröße zu kleineren Problemen kommen kann. Ebenso relevant ist es, sich genau mit den Lernvoraussetzungen der Schüler*innen vertraut zu machen. Besonders bei einer heterogenen Gruppe an Schüler*innen, die nicht die gleiche Klassenstufe besuchen, können Rechenfertigkeiten, wie das Dividieren noch nicht gelernt sein und führen somit zu Problemen bei der Berechnung des Durchschnitts.

Wann sollte die Lernumgebung nicht angewendet werden?

Grundsätzlich sollte die Lernumgebung nicht durchgeführt werden, wenn unklar ist, ob ein Kind (oder mehrere) Angst vor Hunden haben. (Eher für Schüler*innen mit besonderer mathematischer Begabung/ Bearbeitung trotzdem in einer heterogenen Gruppe/ zusätzliche Hilfsoptionen)

Literatur

Welche Literatur (z. B. Schulbücher) wurde zur Entwicklung der Lernumgebung verwendet?

Benz, C.; Peter-Koop, A.; Grüßing, M. (2015). Frühe mathematische Bildung. Mathematiklernen der Drei- bis Achtjährigen. Berlin: Springer Spektrum.

Bildung-RP (2017). Bildungsserver Rheinland-Pfalz. Grundschule Lernbereich Mathematik. SINUS-Knobelei. Verfügbar unter: https://grundschule.bildung-rp.de/fileadmin/user_upload/grundschule.bildungrp.de/Mediathek/Mathematik/SINUS/Kegel_Loesung_3.jpg [Zugriff: 03.08.23].

Blesch, K. (2020). Tiergestützte Therapie mit Hunden. Grundlagen, Tierethik und Praxis der therapeutischen Arbeit. Berlin: Springer.

Bär, M. (2015). Die Lehrerrolle–ein Überblick über eine unübersichtliche Landschaft. Bayern: RPZ-Impulse.

Drumm, J.; Scholz, I. (2007). Gruppenarbeit. In: J. Drumm (Hrsg.). Methodische Elemente des Unterrichts. Sozialformen, Aktionsformen, Medien (S. 32-43). Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht GmbH.

Franke, M.; Ruwisch, S. (2010) (2.Aufl.). Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule. Heidelberg: Spektrum akademischer Verlag.

Gaidoschik, M. (2012). Mit den Waffen der Mathematik gegen „Rechenschwäche“. In Müller, G., Selter, C., Wittmann, E. (S.144-149), Zahlen, Muster und Strukturen: Spielräume für aktives Lernen und Üben. (1. Aufl.). Stuttgart: Ernst Klett Verlag.

Hafner-Beck, A. (2018). Tiergestützte Pädagogik. Hunde in Kindertageseinrichtungen. In: Themenheft Tacheless Expertise, Dezember. Stuttgart: Landesverband Katholischer Kindertagesstätten.

Helmke, A. (2012)(4.Aufl.). Unterrichtsqualität und Lehrerprofessionalität. Diagnose, Evaluation und Verbesserung des Unterrichts. Seelze-Velber: Kallmeyer / Klett.

Helmke, A (2017)(7.Aufl.). Unterrichtsqualität und Lehrerprofessionalität. Diagnose, Evaluation und Verbesserung des Unterrichts. Seelze-Velber: Kallmeyer / Klett.

Ministerium für Bildung, Familie, Frauen und Kultur (MfB) (2009). Kernlehrplan des Saarlandes. Mathematik Grundschule. Verfügbar unter: https://www.saarland.de/SharedDocs/Downloads/DE/mbk/Lehrplaene/Lehrplaene_Grundschule/GS_Kernlehrplan_Mathematik.pdf?__blob=publicationFile&v=2 [Zugriff: 09.08.23].

Krauthausen, G. (2018) (4.Aufl.). Einführung in die Mathematikdidaktik - Grundschule. Berlin: Springer.

Kultusministerkonferenz (KMK) (2022). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich. Luchterhand.

Lipowsky, F.; Lotz, M. (2015). Ist Individualisierung der Königsweg zum erfolgreichen Lernen? Begabungen entwickeln & Kreativität fördern. München: kopaed.

Meyer, H. (2020) (15.Aufl.). Was ist guter Unterricht? Berlin: Cornelsen.

Müller-Wolfangel, U.; Schreiber, B. (2014) (3.Aufl.) Basiswissen Grundschule. Mathematik. Nachschlagen und Üben. Klasse 1 bis 4. Berlin: Dudenverlag.

Platz, M. (2020). Ein Schema zur kriteriengeleiteten Erstellung und Dokumentation von Lernumgebungen mit Einsatz digitaler Medien. In: F., Dilling & F., Pielsticker (Hrsg.). Mathematische Lehr-Lernprozesse im Kontext digitaler Medien (S. 29-56). Wiesbaden: Springer Spektrum.

Saarland. Ministerium für Bildung (2010). Kernlehrplan Sachunterricht Grundschule. Verfügbar unter: https://www.saarland.de/SharedDocs/Downloads/DE/mbk/Lehrplaene/Lehrplaene_Grundschule/GS_Kernlehrplan_Sachunterricht.pdf?__blob=publicationFile&v=2 [Zugriff: 05.08.2023].

Sill, H.D.; Kurtzmann, G. (2019). Didaktik der Stochastik in der Primarstufe. Berlin: Springer Spektrum. Stender, P. (2021). Heuristische Strategien in der Schulmathematik. Berlin: Springer Spektrum.

Wollring, B. (2008). Zur Kennzeichnung von Lernumgebungen für den Mathematikunterricht in der Grundschule. In: Kasseler Forschergruppe (Hrsg.). Lernumgebungen auf dem Prüfstand. Bericht 2 der Kasseler Forschergruppe Empirische Bildungsforschung Lehren – Lernen – Literacy (S. 9– 26). Kassel: kassel university press GmbH.

Abbildungsverzeichnis

ABBILDUNG 1: EXEMPLARISCHE LÖSUNG (SELBST ERSTELLT)

ABBILDUNG 2: VARIATION DER EXEMPLARISCHEN LÖSUNG (SELBST ERSTELLT)