Formale Aspekte

Namen der Verfasser der Lernumgebungsdokumentation

Katrin Kirsch

Elisa Sophie Munkes

Nicole Loos

E-Mail-Adressen und Datum

Katrin Kirsch: s8knkirs@stud.uni-saarland.de

Elisa Sophie Munkes: s8elmunk@stud.uni-saarland.de

Datum: 07.09.2021

Inhaltsaspekte

Name der Lernumgebung

Der Zaubertrick mit den Nullen

Kurzbeschreibung der Lernumgebung

Grundlegende didaktische Motivation

Inhaltlich beherrschen die Kinder bereits den Zahlenraum bis (mind.) 1.000, haben Kenntnisse zum Stellenwertsystem und die Multiplikation als Rechenoperation ist bekannt. Dieses Basiswissen wird nun noch einmal gefestigt und genutzt, um die unbekannte Lernumgebung zu bearbeiten. Die Lernumgebung selbst wird selbstständig durch die Kinder in kleinen Schritten erarbeitet. Zu Beginn werden anhand einfacher Multiplikationsaufgaben erste Verbindungen zur Thematik hergestellt, indem die Kinder herausfinden sollen, durch welche Rechnungen das Produkt Endnullen aufweist. Zur ausführlichen Darstellung wird, neben der Möglichkeit des schriftlichen bzw. zeichnerischen Festhaltens, das Multiplikationsbrett als Programm oder als Arbeitsblatt zur Verfügung gestellt. Bei den jeweiligen Zwischenschritten sollen alle Entdeckungen von den Kindern schriftlich oder zeichnerisch festgehalten werden. Die unbekannte Thematik der Fakultät wird aufgebaut anhand einer ersten einfacheren Aufgabe (5!) bis hin zum eigentlichen Endziel: Dem Finden der Endnullen von 100!. Generell stehen im Fokus der Lernumgebung jedoch der Ausbau der allgemeinen mathematischen Kompetenzen, insbesondere des Argumentierens und des Problemlösens. Auch die inhaltlichen mathematischen Kompetenzen im Bereich „Zahlen und Operationen“ und „Muster und Strukturen“ werden durch die Lernumgebung geschult. Der Lehr-Lern-Prozess zeichnet sich hier dadurch aus, dass die Lehrkraft als Gerüstgeber im Verständnis-/Beweisprozess fungiert. Generell sollen die Kinder aber eigenständig die Probleme erforschen. Das mathematische Selbstkonzept wird gestärkt und die Motivation durch das eigenständige Weiterkommen gefördert. Da die Thematik der Fakultät grundsätzlich erst einige Zeit später in der Schullaufbahn wieder aufgegriffen wird, wird die Lernumgebung nicht in Verbindung zu weiteren Unterrichtseinheiten gesetzt und dient als Knobelaufgabe.

Ziel der Lernumgebung

Übergeordnete Kompetenzen:

Die Schüler*innen bearbeiten selbständig die vorgegebenen Arbeitsaufträge, indem sie ihre Arbeitsprozesse und -ergebnisse reflektieren sowie festhalten und alle verfügbaren Informationen nutzen. [Lernkompetenz]
Die Schüler*innen entwickeln ein positives Selbstkonzept gegenüber dem Fach Mathematik, indem sie eine herausfordernde Knobelaufgabe erfolgreich lösen. [Personale Kompetenz]
Die Schüler*innen lassen sich auf die Herausforderung ein, indem sie verschiedene Strategien und Ideen ausprobieren und es weiter probieren, auch, wenn es zu Problemen kommt. [Personale Kompetenz]

Inhaltlich mathematische Kompetenzen:

Die Schüler*innen entdecken die Beziehung zwischen dem Faktor 5 sowie dem Faktor 2/einem geraden Faktor in einer Multiplikationsaufgabe und einer Endnull des Produkts, indem sie beim Aufschreiben der Rechenaufgaben bei Aufgabe 1 immer einen geraden Faktor und einen Faktor 5 aufschreiben. [Muster und Strukturen sowie Zahlen und Operationen]
Die Schüler*innen vertiefen ihr Wissen zum Stellenwertsystem und zur Multiplikation, indem sie Multiplikationsaufgaben aufschreiben, rechnen und mit dem Multiplikationsbrett untersuchen. [Zahlen und Operationen]
Die Schüler*innen nutzen das entdeckte Muster bei 5!, indem sie es bei 20! und 100! anwenden. [Muster und Strukturen]

Allgemein mathematische Kompetenzen:

Die Schüler*innen nutzen ihre bereits erworbenen mathematischen Kenntnisse, Fertigkeiten und Fähigkeiten bei der Bearbeitung der Lernumgebung, indem sie mithilfe ihrer Multiplikationsfähigkeiten die Fakultäten aufschreiben/ausrechnen und die einzelnen Faktoren zerlegen. [Problemlösen]
Die Schüler*innen greifen auf bekannte Problemlösestrategien zurück oder entwickeln neue, um die unbekannte Fragestellung zu lösen, indem sie beispielsweise mit dem Multiplikationsbrett systematisch die einzelnen Faktoren zerlegen. [Problemlösen]
Die Schüler*innen übertragen nach jeder Aufgabe ihre gewonnenen Erkenntnisse bzw. die entdeckten Zusammenhänge zur nächsten Aufgabe, um sich im weiteren Verlauf den schwierigeren Aufgabenstellungen anzunähern, indem sie ihre Erkenntnisse formulieren und in Form einer Herangehensweise/Strategie bei der nächsten Aufgabe nutzen. [Problemlösen]
Die Schüler*innen äußern Fragen und Vermutungen zu den gestellten Aufgaben, indem sie bei jeder Aufgabe ihre eigenen Erkenntnisse, Überlegungen sowie Probleme notieren. [Argumentieren]
Die Schüler*innen hinterfragen mathematische Aussagen und prüfen sie auf Korrektheit, indem sie mittels der einzelnen Aufgaben schrittweise beweisen, dass 20! tatsächlich 4 Endnullen bzw. 100! 24 Endnullen hat. [Argumentieren]
Die Schüler*innen suchen Begründungen, indem sie bei den einzelnen Aufgaben immer wieder ihre Entdeckungen und die Zusammenhänge beschreiben. [Argumentieren]
Die Schüler*innen beschreiben ihre Vorgehensweise, indem sie sie dem Interviewleiter erklären oder schriftlich notieren. [Kommunizieren]
Die Schüler*innen lernen die neuen Fachbegriffe ‚Fakultät‘ und ‚Multiplikationsbrett‘, indem sie sie korrekt verwenden. [Kommunizieren]
Die Schüler*innen greifen auf verschiedene Darstellungsmöglichkeiten zurück, indem sie die angebotenen ausprobieren und korrekt verwenden, um ihre Denkprozesse und Vorgehensweisen zu beleuchten (Multiplikationsbrett, schriftliche Darstellung auf dem Arbeitsblatt, Skizzen, schriftliche Erklärungen). [Darstellen]

(vgl. KMK, 2004, S. 7 - 11)

Markante Eckpunkte der Lernumgebung

Markant an der Lernumgebung ist, dass das Thema „Fakultät“ fachlich einer höheren Altersstufe zugeordnet wird. Da jedoch für den verlangten Beweis lediglich auf eine Grundrechenart (hier Multiplikation) und damit einhergehende Entdeckungen zurückgegriffen wird, kann dieser bereits in der Grundschule ermöglicht werden. Die dahinterstehende Thematik der Kombinatorik findet noch keine Beachtung. Des Weiteren wird hier mit der Primfaktorzerlegung gearbeitet. Da der Fachwortschatz hier keine Anwendung findet und mit Vielfachen bzw. dem Verkleinern von Zahlen gearbeitet wird, ist auch dies möglich. Aufgrund dieser unbekannten Begriffe und Verfahren ist die Lernumgebung sehr kleinschrittig aufgebaut und führt exemplarisch von „kleinen“ Aufgaben zu 100! und regt trotz des beispielhaften Vorgehens immer wieder zum Verallgemeinern an.

Arbeitsmittel und Medien

Die Lernumgebung wird über vier Arbeitsblätter mit verschiedenen Aufgabenstellungen erarbeitet. Zu jeder Aufgabenstellung sind entweder Schreiblinien, Rechen- oder leere Kästchen zum Aufschreiben vorhanden. Auch weitere leere Notizzettel dürfen von den Kindern verwendet werden. Des Weiteren erhalten die Kinder, neben dem schriftlichen Festhalten, die Möglichkeit des ikonischen Arbeitens anhand eines Multiplikationsbretts. Dieses steht als Lernprogramm oder als Arbeitsblatt zur Verfügung.

Ungefährer Zeitbedarf zur Durchführung

Führt man die Lernumgebung mit wenigen Kindern oder in Eins-zu-Eins-Betreuung durch, ist sie mit Unterstützung in 45min zu bearbeiten. In einer Klasse sollten 90min eingeplant werden. Je nachdem, wie viel die Klasse angeleitet wird, wäre es auch denkbar, es über mehrere Stunden durchzuführen, um allen Kindern eigenständige Entdeckungen zu ermöglichen. Die benötigte Zeit hängt von der Klassenstufe und dem Fähigkeitsniveau in Mathematik ab.

Adressaten der Lernumgebung

Klassenstufe

Da die Schüler*innen bereits die Multiplikation beherrschen müssen und den Zahlenraum bis 1.000 kennen sollten, ist ein Einsatz erst ab der 3. Klasse möglich. Bei einzelnen starken Kindern könnte die Lernumgebung in der 2. Klasse als Herausforderung und Knobelaufgabe eingesetzt werden. Insbesondere das Computerprogramm ermöglicht eine Auseinandersetzung mit der Lernumgebung, auch wenn die Multiplikation noch nicht ganz sicher beherrscht wird. Allerdings ist in solchen Fällen Unterstützung notwendig.

Fokussierung auf spezielle Gruppen

Die Lernumgebung selbst ist auf keine spezielle Gruppe fokussiert. Generell verlangt die Lernumgebung im sprachlichen Bereich einige Kompetenzen, da die Entdeckungen bei jeder Aufgabe festgehalten werden sollen. Allerdings kann auch gezeichnet oder mündlich besprochen werden. Des Weiteren steht die Lehrkraft zur stetigen Unterstützung zur Seite. Auch bietet die Darstellung über das Multiplikationsbrett die Möglichkeit der ikonischen Unterstützung. Schwächere Schüler*innen können hier auf das Ausprobierens zur Überprüfung zurückgreifen. Außerdem wird für die Lernumgebung eine gewisse Geduld und ein gutes Durchhaltevermögen benötigt, da die Kinder meist nicht direkt die Lösungen finden werden. Eine Möglichkeit wäre es, wenn die Kinder sich in einer Gruppe gegenseitig unterstützen und helfen, sodass schwierige Stellen gemeinsam überbrückt werden können. Für mathematisch begabte Kinder könnte die Lernumgebung ebenfalls gut eingesetzt werden, indem sie in der 2. Klasse genutzt wird oder die Lehrperson weniger Unterstützung anbietet.

Zentrale Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge in der Lernumgebung

Einstieg

Den Kindern wird erklärt, dass sie einen Zaubertrick lernen dürfen. Hierfür werden zuerst einige Knobelaufgaben gelöst. Sie bekommen den Hinweis, dass sie genügend Zeit haben, um die Aufgabe zu lösen und gerne jederzeit Fragen stellen können. Sie dürfen alles ausprobieren und Fehler sind kein Problem.

Wortlaut für den Einstieg: „Heute lernst du einen Zaubertrick. Und zwar: Wie findet man heraus, wie viele Nullen das Ergebnis einer ganz langen Multiplikation hat. Hierfür habe ich Arbeitsblätter für dich. Zuerst fangen wir damit an, uns kleinere Multiplikationsaufgaben anzuschauen. Wie du gesehen hast, hast du weitere Arbeitsblätter und ein Programm. Diese erkläre ich dir, sobald wir sie brauchen. Lege sie vorerst zur Seite. Jetzt nimm dir das Arbeitsblatt mit der Nummer 1 zur Hand und lies dir die Aufgabenstellung gut durch. Ich lasse dich erst einmal ein wenig allein ausprobieren. Du hast so viel Zeit, wie du möchtest. Ich möchte, dass du ganz viel ausprobierst und wenn ein Fehler passiert, ist das kein Problem. Am Ende der Aufgaben würde ich sehr gerne erfahren, wie du zu den Ergebnissen gekommen bist. Vielleicht kannst du mir dies dann genauer erklären. Gerne darfst du mir auch während dem Ausprobieren erklären, was du dir gerade denkst. Solltest du Fragen haben, kann ich dir jederzeit helfen.“

Explizite Formulierung der Aufgabenstellungen und Arbeitsaufträge

Notiere dir Multiplikationsaufgaben, bei denen das Ergebnis eine 0 am Ende hat.
Schaue dir die Faktoren in deinen Rechnungen an. Welche Faktoren kommen oft vor? Kreise ein. [Das Wort ‚Faktor‘ wird unten auf dem Arbeitsblatt erklärt.]
Lege diese Zahlen auf dem Multiplikationsbrett. Was fällt dir auf? [Das Wort ‚Multiplikationsbrett‘ wird unten auf dem Arbeitsblatt erklärt.]
Schau dir die Faktoren von 5! genau an. [Das 5! wird unten auf dem Arbeitsblatt erklärt.]
Beweise, dass das Ergebnis von 5! genau eine Null hat + Erklärung in einem leeren Kästchen.
Du kannst jetzt den Trick bei 5! anwenden. Probiere den Zaubertrick bei 20! aus.

★ Für Zauberexperten: Finde heraus, wie viele Nullen 100! hat. + meine Entdeckungen (mit Lineatur)

Aufgabenspezifische Hintergrundinformationen

Zu 1) Produkte mit einer Null am Ende, wie 10, 20 oder 100, besitzen mindestens eine 5 als Faktor.
Zu 2) Die wichtigsten Faktoren, wie die 5 und die 10, sollen bereits hier auffallend häufig vorkommen.
Zu 3) Hierbei geht es um die Primfaktorzerlegung. Die Kinder sollen entdecken, dass auch hier die 5 (möglich auch die 2) als häufiger Faktor vorkommt. Den Kindern soll schließlich auffallen, dass spätestens nach dieser Zerlegung in jeder ihrer Multiplikationsaufgaben mit einer Endnull der Faktor 5 vorkommt.
Zu 4) Die Heranführung an Fakultäten geschieht hier an der ersten Fakultät, die eine Endnull besitzt. Schüler*innen könnten bereits hier eine Vermutung zur Endnull herstellen, wenn es nicht schon in den Multiplikationsaufgaben erkannt wurde.
Zu 5) Sie sollen die Verbindung zwischen der 5 als Faktor und der Endnull im Produkt der Rechnung erkennen.
Zu 6) Die Kinder können wieder alle Faktoren der Aufgabe aufschreiben. Ein Ausrechnen ist allerdings zu aufwendig/schwierig. Hier soll noch einmal aufgegriffen werden, dass der Faktor 5 nicht immer sofort zu erkennen ist, sondern sich manchmal in einer Zahl „versteckt“. Dies kann dann bei Bedarf noch einmal auf dem Multiplikationsbrett gelegt werden. Faktoren, die zur Null am Ende beitragen: 5, 10, 15, 20.
Zu ★) Das Kind soll den Zaubertrick bei 100! anwenden. Die Multiplikationsaufgabe ist so groß, dass wir weder alle Faktoren aufschreiben noch sie ausrechen können. Das Endergebnis der Aufgabe hat 24 Nullen. 20 Nullen davon lassen sich finden, indem man die 10er Reihe und alle Zahlen, die auf 5 enden (15, 25, …) oder die 5er Reihe durchgeht. Es gibt allerdings 4 Sonderfälle. Die Zahlen 25, 50, 75 und 100 besitzen zwei 5er in ihren Faktoren und führen somit zu zwei Nullen am Ende des Ergebnisses.

Mögliche Impulse

Zu 1):

Kind versteht die Aufgabe nicht / Weiß nicht, wie es anfangen soll:

→ "Schreibe Zahlen auf, die eine Null am Ende haben und überlege dir eine Multiplikationsaufgabe dazu."

→ "Ein Beispiel für eine Zahl mit einer 0 am Ende ist die Zahl 10."

Probleme mit dem Fachwortschatz:

→ "Multiplikationsaufgabe ist eine Aufgabe, bei der mal gerechnet wird."

Kind schreibt nur eine oder zwei Aufgaben auf:

→ "Dir fallen bestimmt noch mehr Aufgaben ein."

Zu 2):

Probleme mit dem Fachwortschatz:

→ "Schau dir dazu die Erklärung mit dem Stern genau an."

→ "Faktor ist eine Zahl in einer Multiplikationsaufgabe."

Kind weiß nicht, was es einkreisen soll, da es viele verschiedene Vielfache von 5 in den Aufgaben hat:

→ "Überlege dir noch weitere Malaufgaben."

→ "Schau dir Aufgabe 3 an."

Zu 3):

Kind versteht nicht, wie das Multiplikationsbrett funktioniert:

→ "Schau dir dazu die Erklärung mit dem Stern genau an."

→ Kurze Erklärung dazu, wie das Multiplikationsbrett funktioniert anhand von der Zahl 4 = 2 x 2

Kind stellt die Zahl so dar, dass es den Faktor 5 nicht erkennt:

→ "Lege die Zahl noch anders."

Kind erkennt nicht, dass immer der Faktor 5 vorkommt:

→ "Schau genau, welche Zahl am Rand oft vorkommt."

→ "Schreibe dir die Rechnungen, die du gelegt hast, nochmal auf."/ "Schau dir die Rechnung, die das Programm anzeigt, genau an."

Zu 4):

Kind weiß nicht, was 5! ist:

→ "Schau dir dazu die Erklärung mit dem Stern genau an."

Kind weiß nicht, was es tun soll:

→ "Schreibe die Rechnung von 5! auf und schau dir die einzelnen Faktoren an."

Zu 5):

Kind erkennt von allein keinen logischen Zusammenhang:

→ "Rechne das Ergebnis aus."

→ "Denke an die Aufgaben von vorher. Hätte man bereits anhand der Faktoren erkennen können, dass das Ergebnis eine Null am Ende hat?"/ "Welche Faktoren könnten wichtig sein?"

→ "Nenne die Faktoren, die auf dem anderen Arbeitsblatt zu einer 0 am Ende der Multiplikationsaufgabe geführt haben."

Zu 6):

Kind weiß nicht, was 20! ist:

→ "Erinnere dich an 5!."/"Schaue dir noch einmal die Erklärung von 5! an."

→ "Bei 20! werden alle Zahlen von 1 – 20 miteinander multipliziert/malgenommen."

Kind weiß nicht, wie es anfangen soll:

→ "Was hast du als erstes bei 5! gemacht?"

→ "Schreibe zuerst alle Zahlen von 1 – 20 als Multiplikationsaufgabe auf."

Kind kommt nach dem Aufschreiben der einzelnen Faktoren nicht weiter:

→ "Erkläre noch einmal den Zaubertrick."

→ "Nenne die Faktoren, die dir verraten, ob das Ergebnis eine Null am Ende hat."

Kind findet nur die Faktoren, die auf 5 enden (5, 15):

→ "Erinnere dich an deine Multiplikationsaufgaben des ersten Arbeitsblattes. Überlege, wie du noch 5er entdecken kannst."

→ "Zerlege die Faktoren, bei denen du dir unsicher bist, auf dem Multiplikationsbrett oder denke dir Malaufgaben zu ihnen aus."

Zu ★):

Kind ist noch zu unsicher mit den Multiplikationsreihen:

→ "Lasse dir von dem Lernprogramm die 5-er und 10-er Reihe anzeigen und schaue dir die Produkte/Ergebnisse an."

Kind erkennt falsche Faktoren:

→ "Denke dir hierzu eine Malaufgabe aus. Zerlege dann die Faktoren am Multiplikationsbrett. Was fällt dir auf?"

Kind findet nach den ersten 20 Zahlen, die zur Null führen, nicht die Sonderfälle:

→ "In einem Faktor kann auch mehr als eine 5 sein."

→ "Ich kann dir verraten, dass sich hier noch weitere Nullen versteckt haben. Und zwar kann eine Zahl auch zwei 5er enthalten. Welche könnten das sein?"

→ "Probiere nochmal die Faktoren, bei denen du dir unsicher bist, mit dem Multiplikationsbrett aus."

Alle Aufgaben betreffend:

Kind verfällt in die Addition:

→ "Welches Rechenzeichen nutzen wir hier?"

Kind möchte nicht mehr weitermachen:

→ "Du hast schon so viel herausgefunden und nachher kannst du dann allen den Trick vormachen, wenn du weitermachst."

Technische Voraussetzungen

Grundsätzlich sind keine besonderen technischen Voraussetzungen zu erfüllen, da eine Bearbeitung auch ausschließlich mit den Arbeitsblättern möglich ist. Sollen die Kinder das Programm nutzen, muss ein Laptop / Computer zur Verfügung stehen.

Mathematischer Gehalt der Lernumgebung

Mathematische Analyse

Die Kinder müssen über ausreichend Fähigkeiten zur Multiplikation verfügen. Die Begriffe Faktor und Produkt sollten bekannt sein und richtig angewendet werden. Der Zahlenraum bis 1.000 sollte bereits bekannt sein, da vorerst bei 5! noch gerechnet werden kann (bis zur 120). Außerdem sollten die Kinder gewisse Problemlösefähigkeiten beherrschen und z.B. wissen, wie man ausprobiert.

Mathematikdidaktischer Gehalt der Lernumgebung

Didaktische Analyse

Aus didaktischer Sicht macht es Sinn, das grundsätzliche Phänomen vorerst zu vereinfachen. Eine Herangehensweise über kleinere Fakultäten bietet sich hierbei an. Grundsätzlich müssen die Kinder die Verbindung zwischen dem Faktor 5 und der Entstehung einer Endnull am Ende einer Multiplikationsaufgabe herausfinden. Das Phänomen der Endnull entsteht bei einer Verbindung des Faktors 5 und des Faktors 2. Da jedoch im Verlauf der Berechnung von Fakultäten die 2 als Faktor im Überfluss vorhanden ist, sollte der Fokus auf dem Faktor 5 liegen.

In Schnell, S., Schorcht, S., Kimmel, V., Gafiuk, L.& Hundemer, L. (2020, S. 3) wird darauf verwiesen, dass der Beweis mit den Endnullen der Fakultäten am Ende der Grundschule bereits bis zur 10! angewendet werden kann. Da wir in der Lernumgebung jedoch bis zu 100! gehen, kommen besondere Hindernisse beim Beweisen zum Tragen. Bei 100! stellt das Herausfinden von Zahlen, die zwei 5er als Faktoren enthalten (25, 50, 75, 100) und somit zu zwei Endnullen beitragen, ein besonderes Hindernis dar. Hier wird zwangsläufig ein Hinweis durch die Lehrkraft von Nöten sein.

„Gute“ Aufgaben & Differenzierung

Analyse der Aufgabenstellungen nach Kriterien "guter" Aufgaben zum Lernen

Es werden mit der Aufgabenstellung auf Basis grundlegender mathematischer Fähigkeiten die allgemeinen mathematischen Kompetenzen (Argumentieren, Problemlösen, Kommunizieren und Darstellen), die inhaltlichen mathematischen Kompetenzen in den Bereichen "Zahlen und Operationen" sowie "Muster und Strukturen" und die übergeordneten Kompetenzen in Bezug Lern- und personale Kompetenz gefördert (ausführliche Darstellung s. Kurzbeschreibung der Lernumgebung).

Des Weiteren wird die Eigenaktivität der Schüler*innen mit dem Multiplikationsbrett herausgefordert. Sie werden angehalten, nicht nur routinemäßig die Multiplikationsaufgaben zu lösen, sondern Zusammenhänge zwischen den Produkten und der Anzahl der Endnullen herauszufinden (kognitive Aktivierung). Das selbstständige Entdecken steht im Vordergrund und Entdeckungen können auf einem individuellen Niveau gemacht werden.

Durch die geringen Vorgaben der Aufgaben ist die Wahl der Lösungswege, -methoden und Wahl der Arbeitsmittel sehr offen. Lediglich zu Beginn werden die Kinder zum Ausprobieren des Multiplikationsbrettes aufgefordert. Durch diese Offenheit, die bereitgestellten Materialien sowie den Knobelcharakter werden die Kinder zum Explorieren und Experimentieren aufgefordert (vgl. Winter & Walther, 2006, S. 8).

Es handelt sich um ein sehr abstraktes Thema, das in der Lebenswelt der Kinder nicht direkt vorkommt. Um den Kindern einen authentischen Rahmen zu schaffen und Bedeutung für sie zu generieren, wird ihre Neugier und ihr Interesse durch die Einbettung als Zaubertrick und den Knobelcharakter geweckt (vgl. Winter & Walther, 2006, S. 8).

Art der Differenzierung

Differenziert wird über die Möglichkeit der schriftlichen und handelnden Primfaktorzerlegung. Auch kann die Lehrkraft mehr oder weniger zielführenden Input geben oder generell das Endziel bei den Entdeckungen an das Kind anpassen (ob nur 5!, 20! oder 100! erreicht werden soll).

Innere Differenzierung (innerhalb des Klassenraumes)

Qualitativ: Verschiedene Lernzielsetzungen für das jeweilige Kind

Quantitativ: Zusatzaufgabe (Sternchenaufgabe)

Natürlich: Aufgaben ermöglichen verschiedene Lösungswege, Aufgaben relativ offen gestellt

Medial: Einsatz des Multiplikationsbretts

Sozial: Bei uns nicht vorgesehen. Kann allerdings leicht umgesetzt werden, indem man z.B. Tandems erstellt, die aus schwächeren und stärkeren Schüler*innen bestehen

Artikulation, Kommunikation, Soziale Organisation

Artikulationsoptionen

Handeln: Das Arbeiten am Multiplikationsbrett steht für die handelnde Artikulationsoption.

Schreiben: Eine Notation der Rechenwege und der Erklärungen wird angeregt.

Sprechen: Argumentationen der Rechenwege und Entdeckungen werden vor dem Aufschreiben oder im Nachgang mitgeteilt und mit den Mitschüler*innen und der Lehrkraft diskutiert.

Raum zum Gestalten und Behalten

Das Multiplikationsbrett in Papierform und als Computerprogramm werden als Unterstützung angeboten und auch empfohlen, ihre Nutzung ist jedoch keine Pflicht. Somit wird keine feste Notationsform vorgegeben. Da die Hinführung zum Zaubertrick schrittweise und durch mehrere Fakultäten durchgeführt wird, fällt das Behalten des Zaubertricks leicht und dieser kann auch auf unterschiedliche Fakultäten angewendet werden.

Sozialformen

Einzelarbeit ist vorgesehen. Es ist nicht als Gruppenarbeit geplant. Die Begründung findet im Austausch mit der Lehrkraft statt. Im Rahmen einer Umsetzung mit einer ganzen Klasse kann die Lernumgebung leicht mittels der Ich-Du-Wir Methode umgesetzt werden.

Reflexion der gesamten Lernumgebung

Die Schüler*innen werden angehalten, ihre Entdeckungen festzuhalten. Eine Reflexion der gesamten Lernumgebung findet nach Bedarf noch einmal mündlich statt.

Mögliche Impulse zur Begleitung der Lernumgebung

Was fällt dir auf?
Gibt es einen geschickten Weg (Trick), um nicht alles ausrechnen / aufschreiben zu müssen?
Wie bist du darauf gekommen?
Was hast du als Erstes gemacht?
Kannst du das noch einmal genauer erklären?
Woran siehst du das?
Schau noch einmal nach, was wir vorher gemacht / herausgefunden haben.
Gibt es auch eine andere Möglichkeit, das auszurechnen?

Potenzial des Einsatzes (digitaler) Medien

Benötigtes Material

Das Multiplikationsbrett wird benötigt. Dieses kann in Papierform mit Plättchen oder Stift verwendet werden. Der Einsatz des Lernprogrammes ist möglich, aber nicht zwingend erforderlich. Beim Einsatz des Programms benötigt man Laptops, Tablets o.ä.

Außerdem werden die Arbeitsblätter der Lernumgebung verwendet. Zu den Arbeitsblättern benötigen die Schüler*innen nur noch Stifte und leere oder karierte Blätter.

Material:

Arbeitsblätter: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lernumgebung_Beweis_Nullen_von_100!.pdf

Multiplikationsbrett in Papierform: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Multiplikationsbrett_AB.pdf

Multiplikationsbrett als Programm: https://drive.google.com/file/d/1mdaPpyoeWJ6acpIPeDsyObyWKln18irC/view?usp=sharing

Umgang mit den Arbeitsmitteln

Die Schüler*innen werden durch die Aufgaben anfangs in Aufgabe 3 explizit zum Einsatz des Multiplikationsbrettes aufgefordert. Dies dient dazu, dass sie das Material ausprobieren und merken, ob es ihnen hilft. Im weiteren Verlauf der Lernumgebung ist der Umgang selbstentdeckend und kann bei jeder Aufgabe zur Unterstützung genutzt werden. Wichtig ist aber, dass die Schüler*innen es nicht zwingend nutzen müssen.

Organisation des Arbeitsmaterials

Die Kinder legen sich das Arbeitsmaterial an ihrem Arbeitsplatz selbst zurecht. Die Aufgaben auf den Arbeitsblättern sind nummeriert, was die Reihenfolge der Bearbeitung verdeutlicht. Denkbar wäre beim Einsatz im Klassenraum, dass nach dem ersten Arbeitsblatt die anderen Arbeitsblätter nach und nach ausgeteilt werden und dazwischen gemeinsame Reflexionsphasen erfolgen. Neben den Arbeitsblättern werden Blätter mit Multiplikationsbrettern benötigt, die neben den Arbeitsblättern platziert werden. Wird das Computerprogramm genutzt, so wird neben die Arbeitsblätter ein Computer oder Tablet platziert, sodass das Multiplikationsbrett nebenbei immer genutzt werden kann.

Vorteil: Selbständigkeit, die in dieser Altersgruppe bereits verlangt werden kann
Nachteile: Die Vorgabe des Materials könnte die Ideen der Schüler*innen einschränken oder in eine Richtung lenken

Funktion der Arbeitsmittel

Die Arbeitsblätter dienen zur Mitteilung der einzelnen Arbeitsaufträge, wobei diese bei Schwierigkeiten/Unsicherheiten noch einmal zusätzlich mündlich besprochen werden können. Die Arbeitsblätter und das Multiplikationsbrett als Arbeitsmittel haben außerdem weitere Funktionen:

“Mittel zur Zahldarstellung” (Krauthausen, ⁴2018, S. 327): Durch das Multiplikationsbrett werden Zahlen ikonisch dargestellt, die in ihre Faktoren zerlegt werden, die wiederum durch eine Reihe von Punkten auf dem Multiplikationsbrett dargestellt werden. Die Zahlen und ihre Faktoren können simultan erfasst werden. Außerdem können durch das Aufschreiben der Rechnung von 5!, 20! und 100! auf dem Arbeitsblatt die wichtigen Faktoren bei den jeweiligen Rechnungen dargestellt und auch hervorgehoben werden, indem sie zum Beispiel eingekreist werden (s. Kind A im Anhang). Die Darstellung der Zahlen auf dem Multiplikationsbrett fördert die Vorstellung der Multiplikation.
“Mittel zum Rechnen” (Krauthausen, ⁴2018, S. 328): Veranschaulichung von Rechenoperationen durch das Multiplikationsbrett: das Multiplikationsbrett dient dazu, herauszufinden, durch welche Multiplikation eine Zahl entsteht. Wichtig bei der Lernumgebung ist, immer die 5 als Faktor in einer Zahl zu finden. Das Multiplikationsbrett ist offen für unterschiedliche und individuelle Lösungswege.
“Argumentations- und Beweismittel” (Krauthausen, ⁴2018, S. 329): Durch die erste Aufgabe und das Nutzen des Multiplikationsbretts bei mehreren Zahlen mit einer Null am Ende wird deutlich, dass die 5 der entscheidende Faktor ist. Das Aufschreiben der einzelnen Zahlen der Rechnung von z.B. 20! ermöglicht es, die Zahlen, die eine 5 als Faktor enthalten, leichter zu identifizieren, indem sie umkreist werden. Mithilfe des Multiplikationsbrettes und durch das Aufschreiben der entscheidenden Faktoren aus der Fakultät kann die Anzahl an Endnullen bewiesen werden.

Fachdidaktische Potenziale der Arbeitsmittel

Multiplikationsbrett stellt mathematische Grundidee der Primfaktorzerlegung und Multiplikation dar.
Durch die strukturierte Darstellung und Beschriftung des Multiplikationsbretts ist eine simultane Zahlerfassung möglich.
Durch das Multiplikationsbrett kann sich die Vorstellung zur Multiplikation und Zahlzerlegung verdeutlichen.
Mit dem Multiplikationsbrett können Zahlen auf verschiedene Arten dargestellt bzw. zerlegt werden. Außerdem können die Kinder auch unterschiedliche Zahlen verwenden.
Es können verschiedene heuristische Strategien, wie beispielsweise das systematische Ausprobieren angewendet werden, indem die Kinder an verschiedene Stellen im Lernprogramm klicken und sich die Multiplikationsaufgaben anzeigen lassen.
Das Multiplikationsbrett kann auch für die Festigung der Multiplikation und den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division verwendet werden. Außerdem ist es auch möglich das Multiplikationsbrett als ‚normales‘ Hunderterfeld einzusetzen.
Die Nutzung der Multiplikationsbretter, sowohl analog als auch digital, ist kindgerecht, da die Gestaltung einfach gehalten wurde und keine besonderen motorischen Fähigkeiten benötigt werden.
Wird das Multiplikationsbrett gemeinsam mit einem Partner oder einer Gruppe genutzt, kann es eine fundierte Kommunikation und Diskussion anregen und unterstützen.
Sowohl die analoge als auch die digitale Variante könnten durch größeres Ausdrucken bzw. an die Wand beamen vergrößert und zur Anschauung verwendet werden.
Das analoge Multiplikationsbrett kann schnell ausgeteilt und verwendet werden. Die digitale Version benötigt etwas Vorbereitung, da Tablets oder Laptops sowie das Programm benötigt werden.
Werden bei der analogen Variante die Kreise angemalt, wird viel Papier verwendet. Legt man die Kreise mit Plättchen aus, kann es mehrfach verwendet werden. Sonst kann auch auf das Lernprogramm zurückgegriffen werden, um Papier zu sparen.

(vgl. Krauthausen, ⁴2018, S. 334 - 335)

Preis-Leistungs-Verhältnis

Die Verhältnismäßigkeit (Preis-Leistung) der Lernumgebung stellt kein Problem dar. Eventuell besitzen die jeweiligen Schulen sogar Multiplikationsbretter als greifbares Material, die immer wieder verwendet werden können.

Rolle der Lehrperson

Die Lehrperson sollte als Ansprechpartner stets zur Verfügung stehen. Insbesondere, wenn der Umgang mit dem Multiplikationsbrett noch nicht geübt wurde. Auch steckt der Sinn der Lernumgebung darin, dass argumentiert werden soll. Dies ist für Kinder immer eine anspruchsvolle Situation und Bedarf zumindest einer Anleitung der Lehrkraft und bei einer zielführenden Argumentation auch der weiteren „Gerüststellung“. Die Aufgaben selbst können eigenständig bearbeitet werden. Denkbar wäre auch eine kooperative Bearbeitung.

Evaluation

Einsatz von Strategien

Denkbar sind hier heuristische Strategien, wie:

das Problem in Teilprobleme zu zerlegen (Abspalten von Faktoren / Primfaktorzahlzerlegung)
das Vorwärtsarbeiten (1x2x3x…) / Ein Arbeitsblatt führt zu Erkenntnissen, die auf dem nächsten Arbeitsblatt genutzt werden sollen
das Systematische Probieren (welche Multiplikationen ergeben ein Ergebnis mit einer 0 am Ende? / welche Zahlen lassen sich erneut zerlegen, so dass noch einmal der Faktor 5 auftaucht?)
die Darstellungsform wechseln (schriftliche Rechnung auf das Multiplikationsbrett übertragen)

Die Arbeitsblätter dienen außerdem dem schriftlichen Festhalten der Lösungen durch die Kinder.

Annerkennung der Schüler*innenlösungen

Da die Schüler*innen herausgefordert sind, eigenständig vorzugehen und zu beschreiben, werden viele Anhaltspunkte gegeben, um positive Herangehensweisen zu identifizieren. Anerkennende Leistungen der Kinder können vom richtigen Rechenweg bis hin zu den verschiedenen Abstraktionsgraden erkannt werden. Auch bietet das nachgehende Interview die Möglichkeit, einen genaueren Einblick in eventuell verdeckte Gedankengänge zu erhalten.

Beitrag zum sozialen Lernen

Je nachdem, wie die Lernumgebung in den Unterricht eingebettet wird, bieten sich verschiedene Möglichkeiten des sozialen Lernens. Ein gemeinsamer Argumentationsprozess würde ausreichend Potenzial bieten.

Vernetzung mit anderen Lernumgebungen

Vor der Lernumgebung zu den Nullen von 100! könnte man eine Lernumgebung zum Zusammenhang von Faktoren und Produkten oder eine Lernumgebung zu Zahlen mit einer oder mehreren Nullen am Ende durchführen. Im Anschluss an die Lernumgebung zu den Endnullen von 100! könnte der erlernte Zaubertrick auf weitere beliebige Fakultäten übertragen werden.

Reflexion der Lernumgebung

Mögliche Stolpersteine

Die Kinder kommen mit dem Multiplikationsbrett nicht zurecht.
Die Kinder entdecken nur die Verbindung der 0 zu den 10ern und nicht zur Multiplikation der Zahlen zwischen 2 und 5.
Die Kinder entdecken keinen größeren Zusammenhang und wollen das Ergebnis einfach schriftlich ausrechnen.
Die Kinder kommen selbständig nicht weiter und die Motivation geht verloren.

Grenzen bei der Durchführung

Grundsätzlich ist ein Einsatz vor der 3. Klasse nur für wenige Kinder möglich (Multiplikation, Zahlenraum).
Sollte nicht angewendet werden, wenn große sprachliche Schwierigkeiten vorliegen bzw. sollten dann sprachliche Gerüste angeboten werden.

Nach der Durchführung

Daten zur Durchführung

Beide Durchführungen haben jeweils nur mit einem Kind über Zoom stattgefunden (erst Kind A und dann Kind B).
Das Multiplikationsbrett wurde beiden Kindern als App und als Arbeitsblatt zur Verfügung gestellt.
Dauer der Bearbeitungszeit: 45 Minuten
Muttersprache beider Kinder ist Deutsch

Kind A (durchgeführt am 20.06.2021):

9 Jahre alt, weiblich, 3. Klasse
nach eigener Überzeugung ungeübt in der Multiplikation, generell aber eine gute Schülerin
Probleme mit dem Fachwortschatz, deswegen gehen wir auf einfachere Bezeichnungen über:

→ Multiplikationen = Malaufgaben → Faktoren = Zahlen, mit denen man malnimmt/wir malnehmen

Kind B (durchgeführt am 27.06.21):

10 Jahre alt, männlich, 4. Klasse
sicher in der Multiplikation, stark im Rechnen
wenig Probleme mit Fachwortschatz, einmal kurz Produkt und Faktor verwechselt (nach Klärung aber verstanden), nutzt Fachwortschatz, statt Produkt: Ergebnis

Reflexion

Kind A

Die erste Durchführung hat mit Kind A stattgefunden. Es war generell sehr motiviert und dementsprechend aufmerksam. Zusätzlich angespornt wurde das Kind, indem erwähnt wurde, dass dieser Zaubertrick eigentlich für die vierte Klasse gedacht ist und dass auch Studierende den Zaubertrick nicht kennen. Sie war jedoch leicht unsicher, was dazu führte, dass die anfängliche Unterstützung durch die Lehrkraft zu umfassend stattgefunden hat.

Arbeitsblatt 1:
Das Kind nennt direkt die Zahl 10 und schreibt die Multiplikationsaufgabe hierzu auf. Sie schreibt weitere Aufgaben mit der Endzahl 0 auf und nutzt hier die 5 als „festen“ Faktor (30 = 5 x 6). Ab der 50 geht sie zur 10er Reihe über. Dies führt dazu, dass hier die 5 und die 10 als häufigste Zahlen auftauchen. Bei der Zerlegung am Multiplikationsbrett entdeckt sie, dass die 5 wieder auftaucht. Wie bereits oben erwähnt, entdeckt sie zwar die 5 als maßgeblichen Faktor, jedoch wird sie in ihrer Begründung zu stark von Lehrkraftseite geleitet. Generell hätte man bei der Findung der Multiplikationsaufgaben zusätzlich noch weitere Aufgaben verlangen können, die zum Beispiel auch die Zahlen 15, 20 oder 30 beinhaltet hätten. Im Gesamten kristallisiert sich beim ersten Arbeitsblatt heraus, dass sie Probleme mit dem Fachwortschatz hat, die sie jedoch nicht an der Bearbeitung der Aufgaben scheitern lassen. Zusätzlich wird bei der Zerlegung am Multiplikationsbrett deutlich, dass sie aus immer wieder von der Multiplikation in die Addition rutscht (anstatt die 10 in 2 x 5 zu zerlegen, versucht sie sie in 5 + 5 zu zerlegen).

Arbeitsblatt 2:
Hier liegt das Problem vorerst dabei, dass ihr die Kettenmultiplikation schwerfällt. Wir rechnen somit gemeinsam die Aufgabe durch. Sie lässt sich dadurch nicht aus der Fassung bringen und schafft es trotzdem die Verbindung zwischen der Null im Ergebnis und dem Faktor 5 in der Aufgabe herzustellen und liefert hierzu bereits eine weitere Vermutung („Wenn hier zweimal die Fünf vorgekommen wäre, hätten wir zwei Nullen am Ende gehabt“). Auf ihre Erklärung am Ende des Arbeitsblattes hätte noch einmal genauer eingegangen werden können. Sie hat hier auf die Frage „und warum kommt eine Null am Ende raus?“ lediglich ihre Antwort niedergeschrieben. Reflektierend hätte man auch hier die Frage generell nicht von Lehrkraftseite aus stellen sollen. Eine allgemeinere Fragestellung, wie zum Beispiel „und was hast du festgestellt?“ wäre für einen eigenständigeren Erklärungsprozess vorteilhafter gewesen.

Arbeitsblatt 3:
Beim Übergang zur 20! wird noch einmal thematisiert, wie die Aufgaben zur Fakultät aufgeschrieben werden. Sie schreibt die Multiplikationsaufgabe auf und wird daraufhin mit den Worten „wir haben ja rausgefunden, dass es mit einer Zahl zusammenhängt und wollen schauen, ob es auch schneller (ohne ausrechnen) geht“ dahin geleitet, einen Rückbezug zu den vorherigen Entdeckungen zu machen. Sie kann direkt zwei 5er identifizieren („Ah, ich sehe schon zwei 5er“) und führt von allein aus, dass es „somit schon mal zwei Nullen gibt“ (5 und 15 identifiziert). Es wird an dieser Stelle deutlich, dass sie die Verbindung zwischen dem Faktor 5 und einer Null am Ende des Ergebnisses verstanden hat. Dann wird ihr wieder etwas zu wenig eigenständige Bearbeitungszeit gelassen und von der Lehrkraft direkt der Bezug zu den „versteckten 5ern“ auf dem ersten Arbeitsblatt vorgegeben. Man weiß somit nicht, ob sie diese nicht auch selbst gefunden hätte. Mit diesem Hinweis findet sie jedoch eigenständig die 10 und die 20 und somit alle 5er und dadurch alle Nullen am Ende des Ergebnisses von 20!. Spannend ist hierbei, dass sie ohne von der Lehrkraft um eine Erklärung gebeten zu werden, diese von sich aus liefert. („Also haben wir jetzt 4 Zahlen, in denen die 5 vorkommt. Also gibt es 4 Nullen“). Hier ist ein erstes eigenständiges Begründen zu entdecken.

Arbeitsblatt 4:
Das Arbeitsblatt 4 als Zusatzaufgabe wird mit dem Kind bearbeitet, da die Lehrkraft die Situation so einschätzt, dass das Kind in der Lage ist, den Zaubertrick auch auf 100! zu übertragen. Der Zaubertrick bei 100! wird für das Kind als Belohnung dargestellt, da es die vorherigen Aufgaben so schnell gelöst hat. Somit wird das Kind belohnt, bestärkt und so zum Weiterarbeiten angeregt. Vor der Bearbeitung der Aufgabe versucht sie bereits eine Vermutung über die Gesamtanzahl der Nullen aufzustellen. Diese kann leider nicht nachvollzogen werden. Es wird somit wieder dazu übergangen, einen Bezug zum vorherigen Arbeitsblatt herzustellen. Sie beginnt alle Zahlen mit einer Null am Ende (die 10er Reihe) niederzuschreiben. Danach wird sie gebeten „noch mehr Zahlen zu finden, in denen die 5 drinnen steckt“. So kommt die Reihe 5, 15, 25, …zu Stande. Somit wurden sich die offensichtlichen ersten 20 Fünfer erarbeitet. Darauf folgt folgender Input der Lehrkraft: „Ich weiß, dass da noch mehr Nullen versteckt sind. Es gibt Aufgaben, in denen die 5 nicht nur einmal vorkommt, sondern zweimal. Könntest du dir vorstellen, wo die 5 zweimal vorkommt?“ Daraufhin sagt sie direkt 5 x 5 und findet somit die 25. Deutlich wird, dass sie bereits gelernt hat, dass ein einzelner Faktor noch einmal zerlegt werden kann (Primfaktorzerlegung). Sie überlegt weiter und nennt die 10. Sie kann hier auf Nachfrage („warum?“) selbst feststellen, dass sie wieder in die Addition gerutscht ist (5 + 5). Danach findet sie die 100. Sie überlegt sich hierzu eine Aufgabe. Nennt erst einmal wieder 50 + 50. Sagt dann aber selbst, dass das „ja keine Malaufgabe“ wäre. Danach nennt sie die Aufgabe 10 x 10 und zeigt die versteckten 5er in den 10ern auf. Sie erhält den Hinweis, dass wir nun noch zwei Zahlen suchen, in denen zwei versteckte 5er stecken. Sie schafft es auch noch die 50 und die 75 zu finden. Die Entdeckungen werden mündlich festgehalten.

Fazit:
Im Gesamten sind bei ihr wenig eigene Strategien zu entdecken, da das Gespräch zu sehr durch die Lehrkraft geleitet wurde. Durch Nachfragestrategien und eine längere Bearbeitungszeit hätte man dies verbessern können. Es ist jedoch gut zu erkennen, dass sie im Laufe der Bearbeitung ein eigenständiges Beweisbedürfnis entwickelt und dazu übergeht ihre Vermutungen und Entdeckungen mündlich auszuführen. Allgemein ist festzuhalten, dass sie – wie auch zu Beginn von ihr genannt – die Multiplikation noch nicht sicher beherrscht. Dies lässt sich insbesondere durch den ungefestigten Fachwortschatz und das stetige Einbringen der Addition feststellen.

Kind B

Die zweite Durchführung hat mit Kind B stattgefunden. Er war generell unmotivierter als Kind A aber dafür selbstbewusster. Da zwischen beiden Durchführungen eine Woche lag, konnte bereits reflektiert werden und es wurde versucht, die Problematik des übermäßigen Lehrerinputs zu minimieren. Dafür wurden sich allgemeine mögliche Nachfragen gezielt zur Hand genommen („Woran siehst du das?“, „Kannst du mir das genauer erklären?“, …).

Arbeitsblatt 1:
Er beginnt die erste Aufgabe aufzuschreiben und geht dann direkt über mit der 10 als Konstante zu arbeiten und lediglich den anderen Faktor zu ändern (1x, 2x, 3x,..). Dies führt zur Problematik, dass beim Herangehen an das Multiplikationsbrett, ihm nicht ausreichend viele Beispiele zur Verfügung stehen. Er hat Probleme, die 5 zu identifizieren. Es wird somit noch einmal die Aufgabe 2 x 20 hinzugenommen und noch einmal zerlegt. Danach wird es für ihn offensichtlicher. Er soll dies nun beschreiben. Dafür bekommt er den Input: „Kannst du das in einem Satz beschreiben? Wir suchen heute immer Begründungen. Was ist uns aufgefallen, warum ist das so und was ist besonders daran“. Er kann einen zielführenden Satz ausformulieren und bringt das Fachwort „Faktor“ ein.

Arbeitsblatt 2:
Hier stellt sich heraus, dass er mit der Multiplikation keine Probleme hat. Er kann direkt die Kettenmultiplikation ausrechnen, ohne Nebenrechnungen anstellen zu müssen. Es wird die Frage gestellt, ob „wir die Aufgabe hätten ausrechnen müssen oder ob wir es hätten früher sehen können, dass nur eine Null rauskommt“. Er kann sagen, dass es möglich gewesen wäre, da wir ja wissen, dass, „wenn die 5 vorkommt eine Null vorkommt“.

Arbeitsblatt 3:
Hier muss er erst motiviert werden, alle Zahlen niederzuschreiben (1-20). Es wird die Frage gestellt: „Wenn wir uns jetzt die Faktoren anschauen, können wir erkennen, wie viel Nullen das Ergebnis am Ende hat?.“ Er sagt sofort 3 oder 4. Bei der 20 ist er sich unsicher. Interessant ist, dass er hier zum ersten Mal sagt, dass „die 20 in der 5er Reihe vorkommt“. Es wird somit eine Strategie von ihm beim Finden der 5er ersichtlich. Wir gehen auch noch einmal auf das weitere Zerlegen der Faktoren ein. Allerdings tut er sich etwas schwer mit dem Multiplikationsbrett. Er hatte jedoch beim ersten Arbeitsblatt bereits die 20 zerlegt, so dass er wieder auf die versteckte 5 eingehen konnte.

Arbeitsblatt 4:
Auch er stellt direkt eine Vermutung vor Bearbeitung der Aufgabe auf und sagt direkt „20 Nullen“. Hier zeigt sich wieder seine Strategie der 5er Reihe. Da in der 50 zehn Nullen stecken muss man dies nur mal 2 nehmen. Er wird gebeten alle Zahlen aufzuschreiben, die die 5 beinhalten /zur Null beitragen. Er schreibt auch hier wieder die 5er Reihe bis zur 100 auf. Auch er hat somit keine Probleme die ersten 20 Nullen zu identifizieren. Auf die Frage „könnte es auch Zahlen geben, in denen die 5 mehrfach vorkommt?“ nennt er die „55, da in der 11 er Reihe die Zahlen immer doppelt vorkommen“. Wir beginnen noch einmal die Zerlegung zu thematisieren. Hier stellt sich an mehreren Zahlen heraus, dass er immer eine 5 aus dem Ergebnis ziehen möchte und eine 5 aus den Faktoren. Er beginnt danach überzugehen, sich nicht die Zahlen oben anzuschauen, sondern Multiplikationsaufgaben zu finden, in denen zwei 5er vorkommen. Und schaut dann, ob das Ergebnis in seinen niedergeschriebenen Zahlen zu finden ist. Er nimmt somit eigenständig einen Strategiewechsel vor. Er findet die 5 x 15 und die 20 x 5. Auch er kommt somit auf alle 24 Nullen.

Fazit:
Bei Kind B sind die Strategien besser zu identifizieren, da bei ihm mit einer offeneren Interviewart gearbeitet wird. Auch er wird im Verlauf der Aufgaben dazu angeleitet, selbständig Vermutungen und Begründungen zu äußern. Da er in der Multiplikation bereits sicherer war als Kind A, war die Bearbeitungszeit bei Kind B insgesamt geringer. Als problematisch stellt sich seine persönliche Motivation heraus.

Literatur

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Krauthausen, G. (⁴2018). Einführung in die Mathematikdidaktik – Grundschule. Berlin: Springer Spektrum.
Kultusministerkonferenz (KMK) (2004). Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich. Abgerufen am 12.09.2021 unter: https://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2004/2004_10_15-Bildungsstandards-Mathe-Primar.pdf
Schnell, S., Schorcht, S., Kimmel, V., Gafiuk, L.& Hundemer, L. (2020). Mathe-KLIPS: Videos zu mathematischen Kompe-tenzen für das Lehramt in der Primarstufe: Ergänzungsmaterial 100!. Abgerufen am 20.06.2021 unter: https://www.uni-giessen.de/fbz/fb07/fachgebiete/mathematik/idm/projekt/Matheklips/didkommentare/100.
Winter, H. & Walther, G. (2006). MATHEMATIK. Modul G 6: Fächerübergreifend und fächerverbindend unterrichten. Abgerufen am 07.09.2021 unter: http://www.sinus-transfer.de/fileadmin/Materialien/ModulG6_Druckversion_13Maerz06.pdf.