Geometrie mit GeoGebra

Entwickler der Lernumgebung: Hannah Anlauf, Mara Klee, Victoria Maul

Kurzbeschreibung der Lernumgebung

Die Schüler*innen haben schon Vorwissen im Themengebiet der Geometrie. Dieses sollen sie nun mit Hilfe von digitalen Medien (GeoGebra) festigen und vertiefen. Sie lernen ein neues Medium kennen, wobei sie die Verwendung des Online-Tools erproben und ihr geometrisches Wissen festigen, wie Formeln, Grundbegriffe und das Aussehen der geometrischen Figuren.

Welche Teilnehmer sollen angesprochen werden?

Die Lernumgebung richtet sich an alle Schulformen und insbesondere an Schüler*innen der Klassenstufe fünf, welche das Themengebiet Geometrie bereits im Unterricht behandelt haben. Es besteht auch die Möglichkeit, die Lernumgebung an Realschulen oder Gemeinschaftsschulen erst in der sechsten Klasse anzuwenden.

Zentrale Aufgaben bzw. Arbeitsaufträge in der Lernumgebung

Die Schüler*innen sollten in der Lage sein, die wichtigsten Grundbegriffe zu definieren. Weiterhin sollen sie alle relevanten Figuren konstruieren können. Die Anwendungsaufgaben zum Flächeninhalt- und Umfangsformeln sollten die Schüler*innen verstehen und bearbeiten können. Die Fähigkeit, Geogebra zum Lösen der Aufgaben nutzen zu können, soll erlernt werden.

Material-Raum-Arrangement

An Material werden Papier, Stifte, Geodreieck und iPad oder Computer mit Geogebra verwendet. Falls keine iPads verfügbar sind, sollte man, falls vorhanden, auf den Computerraum der Schule ausweichen. Das Arbeitsblatt kann in gedruckter oder digitaler Form bereitgestellt werden. Die Tischsituation muss an die Sozialform angepasst werden (bei Gruppenarbeit Gruppentische).

Wichtige Aspekte und Überlegungen zur Durchführung

1) In der Eingangssituation werden grundlegende Techniken im Umgang mit Geogebra besprochen, danach werden die Arbeitsblätter ausgeteilt und die Schüler*innen lesen sich die Aufgabenstellungen durch, eventuelle Probleme werden besprochen.

2) Je nach Einschätzung der Lehrperson können die Aufgaben in Einzel-, Partner-, oder Gruppenarbeit bearbeitet werden.

3) Im Anschluss an die Unterrichtssequenz werden die Aufgaben vorgestellt und mögliche unterschiedliche Lösungen und Ansätze diskutiert.

4) Wie sollen die Schüler*innen die Aufgaben bearbeiten? Wie kommt man unter Nutzung der gegebenen Software (Geogebra) zum Ziel? Wie kann man aus der enaktiven Aktion die digitale Herangehensweise nachvollziehen?

"Lernzuwachs" der Schülerinnen und Schüler

Die Schüler*innen erlangen Wissen im Umgang mit GeoGebra. Sie lernen, sich mit neuen Funktionen des Tools auseinanderzusetzen und diese anzuwenden. Außerdem lernen sie das selbstständige Bedienen von GeoGebra. Weiterhin festigen sie ihr Verständnis der Grundbegriffe. Sie wiederholen bereits bekannte Formen und Figuren aus dem Unterricht, haben aber auch die Freiheit bekannte Formelsätze auf neue Figuren anzuwenden.

Eventuelle Stolpersteine im Verlauf der Situation

Für lernschwache Schüler in niedrigeren Anforderungsbereichen, die eventuell bereits Probleme mit den Begriffen haben, stellt die Lernumgebung eine große Herausforderung dar. Hier bietet sich unter Umständen tatsächlich eine Partnerarbeit von Schüler*innen mit heterogenen Leistungsniveaus an. Außerdem sollte bei der Auswahl der GeoGebra-Version darauf geachtet werden, dass alle Schüler*innen dieselbe Version nutzen. Dies vereinfacht es, Partnerarbeit durchzuführen und den Schülern Hilfestellung geben zu können.

Mathematischer und mathematikdidaktischer Gehalt

Überprüfung von Kriterien "guter" Aufgaben

Wir ziehen hier die Kriterien guter Aufgaben nach Büchter und Leuders (2005) heran.

Kompetenzorientiertheit

Die mathematischen Kompetenzen lassen sich in den KMK Bildungsstandards des Faches Mathematik online finden.

Es werden vordergründig die Kompetenzen mit mathematischen Objekten umgehen, mit Medien mathematisch arbeiten, mathematisch argumentieren und mathematisch kommunizieren angesprochen.

Die Kompetenz „mit symbolischen, technischen und formalen Elementen der Mathematik umgehen“ ist dadurch gegeben, dass die SuS umfassende Grundkenntnisse im Bereich der Geometrie benötigen, die Grundrechenarten beherrschen und Zeichnungen von den verschiedenen Objekten anfertigen bzw. diese mit Geogebra konstruieren müssen (Aufgaben b), c), e), g)-k)).

Mit Medien mathematisch arbeiten ist gegeben durch die Einbettung der Lernumgebung in Geogebra.

Die SuS müssen mathematisch argumentieren, wenn sie ihre Herangehensweisen und Lösungen begründen müssen (Aufgaben j)-l)).

Die Kompetenz mathematisch kommunizieren ist erfüllt, da die SuS beim Erläutern der Lösungswege auf fachlich korrekte Sprache achtgeben müssen. Je nach Sozialform müssen die SuS auch untereinander über die Aufgaben sprechen und unabhängig davon zu Ende der Lerneinheit ihre Lösungen vorstellen. Bei manchen Aufgaben ist zudem konkret gefordert, das Vorgehen zu beschreiben (Aufgaben g)-i)). Auch bei der Definitionsaufgabe (a)) ist es von den Schülern gefordert, die „richtigen“ Worte für die mathematischen Objekte zu finden.

Offenheit

In der Lernumgebung finden sich sowohl offene als auch geschlossene Aufgaben, wenn nicht jeder Schüler alle Aufgaben bearbeiten muss (Wahlaufgaben), könnten leistungsschwächere SuS sich die offenen Aufgaben auswählen und diese nach ihrem Können bearbeiten.

Die geschlossenen Aufgaben finden sich am Anfang, um den SuS einen einfachen Start in die Lernumgebung zu ermöglichen.

Ab Aufgabe h) werden die Aufgabenstellungen offener, um den SuS mehr Spielraum für Kreativität und Individualität zu lassen. So wird auf konkrete Längenangaben verzichtet (Aufgabe h), j), k)), der Lösungsweg nicht mehr vorgegeben (Aufgaben h)-l)) und den SuS werden insgesamt mehr Freiheiten in der Lösungsfindung eingeräumt. Offene Aufgaben wirken zugleich differenzierend, da dieselbe Aufgabe von Schülern mit verschiedenen Leistungsniveaus unterschiedlich komplex gelöst werden kann (z.B. Aufgabe k)).

Differenzierung

Krauthausen und Scherer (2010) charakterisieren eine natürliche Differenzierung durch vier Merkmale; unter anderem erhalten alle SuS das gleiche Lernangebot. Dies ist bei unserer Lernumgebung der Fall, die Aufgaben werden allerdings im Verlauf der Lernumgebung schwieriger. So sind a) - f) noch Wissens- bzw. einfache Anwendungsaufgaben, g)-j) Begründungsaufgaben aus AFBII und k) und l) weiterführende, komplexere Aufgaben aus AFBIII. So haben die SuS eine gewisse Freiheit, wie weit sie in den Aufgaben kommen.

Ebenso sollen nach Krauthausen und Scherer die Hilfsmittel freigestellt werden. Es ist bei allen Aufgaben unserer Lernumgebung (außer den Definitionen) möglich, diese sowohl mit Geogebra als auch von Hand zu erledigen. Das Ziel ist jedoch, dass die SuS den Umgang mit Geogebra lernen, weshalb sie dazu ermutigt werden. Dem Merkmal des Voneinanderlernens (Krauthausen und Scherer 2010) kann begegnet werden, indem die Aufgaben in verschiedenen Sozialformen (Einzel-, Partner- und Gruppenarbeit) erledigt werden.

Zudem werden verschiedene Darstellungsformen der Mathematik angesprochen (verbal-begrifflich, konstruktiv-geometrisch & formal-algebraisch).

Authentizität

Das Arbeiten mit geometrischen Figuren ist eine typische mathematische Tätigkeit (Arbeitsbereich Geometrie). Im unmittelbaren Umfeld der Kinder finden sich viele Alltagsbeispiele, die auch zur händischen Arbeit mit Figuren herangezogen werden können (zB händisches Spiegeln mit einem Spiegel, Abstandsmessung mit Lineal/Maßstab). Allerdings handelt es sich nicht zwingend um Dinge, mit denen die SuS täglich in Berührung kommen und die Aufgaben sind eher konstruiert als aus dem Leben gegriffen. Die Aufgaben motivieren zu erforschendem Lernen und zum Finden eines eigenen Zugangs zur Mathematik, indem sie den SuS ermöglichen, eigene Ideen einzubringen und für sich selbst einen Zugang zur Mathematik zu entdecken. Dies wird durch die offeneren Aufgabenstellungen ermöglicht (insb. Aufgaben a), h), k)). Zentrale Bildungsziele der Mathematik werden erfüllt (Gesetzmäßigkeiten erkennen, heuristische Strategien, experimentelles und anwendungsorientiertes Arbeiten).

Leitideen zum Design von Lernumgebungen

Wollring (2008) hat sechs Leitideen zum Design von Lernumgebungen formuliert, anhand derer wir im Folgenden unsere Lernumgebung kritisch prüfen.

L1: Gegenstand und Sinn

Durch Problemlösen als Kern der Mathematik werden substantielle mathematische Ideen angesprochen. Es findet eine Wiederholung der grundlegenden geometrischen Fachbegriffe und deren Implementation mit Geogebra als Visualisierungswerkzeug statt.

L2: Artikulation, Kommunikation, soziale Organisation

Bei unserer Lernumgebung steht das Handeln im Fokus, da die SuS die Arbeitsaufträge selbstständig bearbeiten. Je nach Sozialform müssen sie dafür aber auch kommunizieren. Je nach Aufgabe müssen sie Definitionen und Begründungen für ihre Lösungen angeben. Der Spiel-Raum ist mit der Software selbst gegeben, die SuS können ihre Ergebnisse visuell gestalten und bearbeiten. Die SuS speichern die Dokumente lokal oder global ab, so dass sie zur Besprechung zur Verfügung stehen.

L3: Differenzieren

Es gibt eine natürliche Differenzierung, da alle SuS das gleiche Lernangebot erhalten. Dabei sind den SuS teiweise ihre Lösungswege freigestellt. Durch die Zusammensetzung der Gruppen kann ebenfalls differenziert werden. Siehe auch (1)/Differenzierung.

L4: Logistik

Das investive Material ist ein Laptop oder iPad mit Geogebra, sowie zum Zeichnen verwendete Materialen wie Zirkel und Geodreieck. Konsumtives Material wird in diesem Fall weniger eingesetzt, man benötigt lediglich Papier und Stifte, sowie das Arbeitsblatt, falls es nicht digital ausgeteilt wird.

Zeit: Die Vorbereitungen benötigen recht wenig Zeit, da Geogebra auf den meisten Schulgeräten bereits installiert ist. Ist dies nicht der Fall, bleibt immer noch die Nutzung der Webversion, um einen schnellen Start zu ermöglichen. Eine kurze Einführung in Geogebra, die das Erforschen des Tools nicht redundant macht, sollte der Lerneinheit vorgeschaltet sein, damit es keine unnötigen Hindernisse gibt (z.B. wo befinden sich die benötigten Tools etc.). Insgesamt sollte mindestens eine Doppelstunde für die Durchführung eingeplant werden.

L5: Evaluation

Die Aufgaben der Lernumgebung sind insbesondere zu Beginn sehr repetitiv zum Unterrichtsstoff. Wie die SuS diese Aufgaben lösen, gibt der Lehrperson Rückmeldung darüber, wie die Inhalte der Lernumgebung angekommen sind. Die Besprechung am Ende gibt darüber Aufschluss, allerdings kann sich die Lehrkraft auch schon in der Bearbeitungsphase einen Überblick verschaffen und bei Bedarf intervenieren. Denkbar ist zudem, die Aufgaben als aGLN zu bewerten.

L6: Vernetzung mit anderen Lernumgebungen

Eine direkte Vernetzung zu anderen Lernumgebungen ist nicht gegeben, allerdings sind die hier gefragten Grundkenntnisse relevant für viele weitere Teilbereiche der Geometrie. Es bestehen zudem Bezüge zu den Leitideen Messen und Zahl sowie Raum und Form und Bezüge zur Informatik.

Kriterien substanzieller Lernumgebungen

Wittmann (2001, S. 2) definiert eine substanzielle Lernumgebung als eine solche, bei der die folgenden vier Merkmale erfüllt sind, auf die hin wir unsere Lernumgebung überprüfen.

i) Sie repräsentieren zentrale Ziele, Inhalte und Prinzipien des Mathematiklernens auf einer bestimmten Stufe: Der zentrale Inhalt der Lernumgebung sind die Wiederholungder geometrischen Grundbegriffe gemäß des Lehrplans, mithilfe von Geogebra. Es besteht die Möglichkeit der Wiederholung der geometrischen Grundlagen zum Beispiel vor einem großen Leistungsnachweis.

ii) Sie sind bezogen auf fundamentale Ideen, Inhalte, Prozesse und Prozeduren über diese Stufe hinaus und bieten daher reichhaltige Möglichkeiten für mathematische Aktivitäten: Das Erlernen des Umgangs mit Geogebra macht sich über die ganze Schullaufbahn hinaus bezahlt. Das (händische) Zeichnen findet sich in den weiterführenden Klassen vertieft wieder. Geometrische Grundfiguren und -beziehungen sind Voraussetzung für die weitere mathematische Laufbahn der SuS.

iii) Sie sind didaktisch flexibel und können daher leicht an die spezifischen Bedingungen einer (heterogenen) Lerngruppe angepasst werden: Die didaktische Flexibilität ist durch teils offene Aufgaben und Variabilität der Sozialformen gegeben. Die SuS haben die Freiheit, nur diejenigen Aufgaben zu bearbeiten, welche sie sich zutrauen. Dies wird unterstützt durch die progressive Komplexität der Aufgaben. Um die Aufgaben noch besser an die Lerngruppe anzupassen, können Hilfestellungen gegeben bzw. entzogen werden.

iv) Sie integrieren mathematische, psychologische und pädagogische Aspekte des Lehrens und Lernens von Mathematik in ganzheitlicher und natürlicher Weise und bieten daher ein reichhaltiges Potenzial von empirischen Forschungen: Die Elemente des entdeckenden Lernens werden in die Lernumgebung integriert. Weitere Vernetzungen wurden unter der Leitidee L6 nach Wollring (2008) beschrieben.

Phasen entdeckenden Lernens

Winter (1984) beschreibt vier Phasen entdeckenden Lernens, in die sich unsere Lernumgebung folgendermaßen einordnen lässt:

1. Angebot einer „herausfordernden Situation“ (Problemstellung, Aufgabenstellung) Wie kommt man unter Nutzung der gegebenen Software (Geogebra) zum Ziel?

2. Eigenständiges Finden von Lösungen (allein oder in Kooperation)

Es kann sowohl allein als auch in Kooperation nach Lösungen gesucht werden, sowohl für die Lösung der Aufgabe selbst als auch für die Realisierung in Geogebra.

3. Vorstellen der Ergebnisse durch die Lernenden

Die Ergebnisse können am Ende gesammelt/besprochen oder aber in Kleingruppen/Partnerarbeit verglichen werden.

4. Arbeitsergebnisse bündeln, zusammenfassen, ordnen, korrigieren

Am Ende der Stunde werden Schwierigkeiten und eventuell entstandene Fragen konkret anhand der Arbeitsergebnisse besprochen.

Funktionen von Arbeitsmitteln

Das Medium Geogebra wird als substantielle Grundlage der Lernumgebung verwendet. Gemäß dem SAMR-Modell erfüllt Geogebra vor allem die ersten beiden Stufen in unserer Lernumgebung.

Material & Arbeitsblätter

Aufgabenstellungen:

a. Definiere die Begriffe Gerade, Strecke und Strahl mit eigenen Worten.

b. Konstruiere eine Gerade und einen Punkt, der nicht auf der Geraden liegt. Konstruiere dann eine Parallele zur Geraden, die durch den Punkt verläuft.

c. Konstruiere eine weitere Gerade, die senkrecht auf beiden Parallelen steht.

d. Wie groß sind die Schnittwinkel der Geraden?

Anwendung von geometrischen Grundlagen:

e. Konstruiere ein Quadrat mit der Seitenlänge 5 und berechne seinen Umfang sowie seinen Flächeninhalt.

f. Bestimme den Abstand des Punkts P(2,2) vom Mittelpunkt jeder Seite des Quadrats.

g. Spiegele das Quadrat an der x- Achse und berechne den Abstand zwischen einem der Eckpunkte A und dem Spiegelpunkt A’. Beschreibe dein Vorgehen.

h. Konstruiere ein Rechteck mit variablen Seitenlängen und bestimme seinen Flächeninhalt.

i. Konstruiere verschiedene Rechtecke mit dem gleichen Umfang. Wann wird ihr Flächeninhalt maximal?

j. Konstruiere verschiedene Rechtecke mit dem Flächeninhalt 24cm². Findest du eine Möglichkeit, alle mithilfe eines Schiebereglers darzustellen?

Vertiefung des erlernten Wissens:

k. Zeichne ein beliebiges Rechteck und bestimme seine Diagonalen sowie seine Winkel. Erläutere dein Vorgehen.

l. Zeichne eine beliebige Figur und bestimme begründend ihre Umfangsformel.

m. Ein Grundstück hat den Flächeninhalt 16m². Bei welcher Seitenlänge ist sein Umfang maximal? Begründe!

Weblinks

Referenzseiten zum Entwurf der Lernumgebung: https://de.wikiversity.org/wiki/OpenSource4School/Lernumgebungen/Programmieren_Scratch#cite_note-5 https://de.wikiversity.org/wiki/OpenSource4School/Lernumgebungen

Wittmann, E. C. (1998). Design und Erforschung von Lernumgebungen als Kern der Mathematikdidaktik. Beiträ ge zur Lehrerbildung, 16(3), 329–342. (https://www.pedocs.de/volltexte/2017/13385/pdf/BZL_1998_3_329_342.pdf)

Grundkonzeption des ZAHLENBUCHs. Verfügbar unter: https://wwwold.mathematik.tu-dortmund.de/ieem/mathe2000/pdf/Grundkonzeption%20mathe%202000.pdf

Natürliche Differenzierung: https://primakom.dzlm.de/primafiles/uploads/Dokumente/Nat%C3%BCrliche%20Differenzierung-%C3%9Cbersicht%C3%BC.pdf

KMK Bildungsstandards Mathematik: https://www.kmk.org/fileadmin/veroeffentlichungen_beschluesse/2022/2022_06_23-Bista-ESA-MSA-Mathe.pdf

WESKAMP, Stephanie: Kriterien substantieller Lernumgebungen: https://eldorado.tu-dortmund.de/bitstream/2003/34811/1/BzMU15_Weskamp_Lernumgebungen.pdf

Literatur

Büchter, A., Leuders, T. & Leuders, T. (2005). Mathematikaufgaben selbst entwickeln: Lernen fördern - Leistung überprüfen. Cornelsen Scriptor.

Krauhausen, G. & Scherer, P. (2010). Umgang mit Heterogenität. Natürliche Differenzierung im Mathematikunterricht der Grundschule. Handreichungen des Programms SINUS an Grundschulen.

Wittmann, E. Ch. (2001). Developing Mathematics Educaction in a Systemic Process. Educational Studies in Mathematics, 46. Jg., H. 1, S. 1-20.

Winter, H. W. (1984). Begriff und Bedeutung des Übens im Mathematikunterricht. In: mathematik lehren. H.2, 4-11.

Wollring, B. (2008). Zur Kennzeichnung von Lernumgebungen für den Mathematikunterricht in der Grundschule. Erscheint in der Schriftenreihe der Arbeitsgruppe „Empirische Bildungsforschung“ an der Universität Kassel