Ordnung/Auf N/Zweierpotenzen rausziehen/Totale Ordnung/Aufgabe

Wir definieren auf ${}\mathbb {N} _{+}$ eine neue Relation ${}R$ durch folgende Vorschrift: Für zwei Zahlen ${}n,m\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}n=2^{k}t$ und ${}m=2^{\ell }u$ mit ${}t,u$ ungerade sei

$nRm{\text{ falls }}t<u{\text{ gilt oder falls zugleich }}t=u{\text{ und }}k\leq \ell {\text{ gilt}}$

(rechts wird auf die natürliche Ordnung in ${}\mathbb {N}$ Bezug genommen).

1. Zeige, dass ${}R$ eine totale Ordnung auf ${}\mathbb {N} _{+}$ ergibt und beschreibe exemplarisch diese Ordnung.
2. Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ ein wohldefiniertes Element ${}n^{\star }\in \mathbb {N} _{+}$, ${}n^{\star }\neq n$, derart gibt, dass ${}nRn^{\star }$ gilt und dass es zwischen ${}n$ und ${}n^{\star }$ keine weiteren Elemente gibt (diese Formulierung ist zu präzisieren).
3. Erfüllt die Menge ${}(\mathbb {N} _{+},1,\star )$ die Dedekind-Peano-Axiome?

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