Ordnung/Echte Ordnung/Eigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. Sei ${}x\prec y$ und ${}y\prec z$. Das bedeutet ${}x\preccurlyeq y$ und ${}y\preccurlyeq z$ und somit ist wegen der Transitivität von ${}\preccurlyeq$ auch ${}x\preccurlyeq z$. Wäre ${}x=z$, so wäre wegen der Antisymmetrie von ${}\preccurlyeq$ auch ${}x=y$, was den Voraussetzungen widerspricht.
2. Die Relation ${}\prec$ ist nicht reflexiv, da ${}x\prec y$ die Verschiedenheit von ${}x$ und ${}y$ beinhaltet.
3. Die Relation ${}\prec$ ist nicht symmetrisch, außer wenn ${}\preccurlyeq$ die Identität ist. In diesem Fall ist nämlich ${}\prec$ die leere Relation, und diese ist symmetrisch. Wenn es hingegen ein Paar ${}x\preccurlyeq y$ mit ${}x\neq y$ gibt, so ist ${}x\prec y$, aber nicht umgekehrt.
4. Die Relation ${}\prec$ ist antisymmetrisch. Sei ${}x\prec y$ und ${}y\prec x$. Dann ist insbesondere${}x\preccurlyeq y$ und ${}y\preccurlyeq x$ und die Antisymmetrie der Ordnungsrelation impliziert ${}x=y$. Doch dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung. D.h. die Voraussetzung in der Eigenschaft Antisymmetrie kann gar nicht erfüllt sein und daher ist die Antisymmetrie erfüllt.

Zur gelösten Aufgabe