Orthogonalität/Reflexionsgesetz/Bemerkung

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum mit dem orthogonalem Komplement ${}U^{\perp }$. Es sei ${}E=P+U$ ein affiner Unterraum und ${}v\in V$, ${}v\neq 0$, ein Vektor und ${}G=Q+\mathbb {R} v$ die Gerade durch einen Punkt ${}Q$ mit dem Richtungsvektor ${}v$. Man denke bei ${}E$ an eine fixierte Gerade (eine Bande) in der Ebene oder eine Spiegelungsebene im Raum und bei ${}v$ an die Richtung einer Billardkugel oder eines Lichtstrahls, die Bewegung ist durch die Abbildung ${}\mathbb {R} \longrightarrow V$, ${}t\longmapsto Q+tv$, gegeben.

Wenn die Bewegung auf ${}E$ trifft, so wird die Bewegung nach dem Reflexionsgesetz reflektiert, dabei gilt die Beziehung Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel. Wir bestimmen den Ausfallsvektor und die Gesamtbewegung. Wir können ${}P=Q$ annehmen und dass die Bewegung zum Zeitpunkt ${}0$ diesen Punkt erreicht. Der Einfallsvektor ${}v$ besitzt nach Fakt eine eindeutige Zerlegung

${}v=u+w\,$

mit ${}u\in U$ und ${}w\in U^{\perp }$. Der Vektor ${}w$ wird also zerlegt in die Spiegelungskomponente ${}u$ und in die Lotkomponente ${}w$. Der Ausfallsvektor ${}v^{*}$ ist dann gleich ${}u-w$, es gilt

${}\left\langle v,u\right\rangle =\left\langle u+w,u\right\rangle =\left\langle u,u\right\rangle =\left\langle u-w,u\right\rangle =\left\langle {v^{*}},u\right\rangle \,.$

Ein Vektor, der zu ${}U$ gehört, wird gar nicht reflektiert, ein Vektor, der senkrecht auf ${}U$ steht, wird in sein Negatives reflektiert. Die gesamte (ungebremste) Bewegung ist durch

${}\gamma (t)={\begin{cases}P+t(u+w){\text{ für }}t\leq 0\,,\\P+t(u-w){\text{ für }}t\geq 0\,,\end{cases}}\,$

gegeben.