Orthogonalität/Reflexionsgesetz/Bemerkung

Es sei $V$ ein euklidischer Vektorraum und  $U\subseteq V$  ein Untervektorraum mit dem orthogonalen Komplement $U^{\perp }$. Es sei  $E=P+U$  ein affiner Unterraum und  $v\in V$,   $v\ne 0$,  ein Vektor und  $G=Q+ℝv$  die Gerade durch einen Punkt $Q$ mit dem Richtungsvektor $v$. Man denke bei $E$ an eine fixierte Gerade (eine Bande) in der Ebene oder eine Spiegelungsebene im Raum und bei $v$ an die Richtung einer Billardkugel oder eines Lichtstrahls, die Bewegung ist durch die Abbildung $ℝ⟶V$, $t⟼Q+tv$, gegeben.

Wenn die Bewegung auf $E$ trifft, so wird die Bewegung nach dem Reflexionsgesetz reflektiert, dabei gilt die Beziehung Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel. Wir bestimmen den Ausfallsvektor und die Gesamtbewegung. Wir können  $P=Q$  annehmen und dass die Bewegung zum Zeitpunkt $0$ diesen Punkt erreicht. Der Einfallsvektor $v$ besitzt nach Fakt eine eindeutige Zerlegung

$v=u+w$

mit  $u\in U$  und  $w\in U^{\perp }$.  Der Vektor $w$ wird also zerlegt in die Spiegelungskomponente $u$ und in die Lotkomponente $w$. Der Ausfallsvektor $v^{\ast }$ ist dann gleich $u-w$, es gilt

$⟨v,u⟩=⟨u+w,u⟩=⟨u,u⟩=⟨u-w,u⟩=⟨v^{\ast },u⟩.$

Ein Vektor, der zu $U$ gehört, wird gar nicht reflektiert, ein Vektor, der senkrecht auf $U$ steht, wird in sein Negatives reflektiert. Die gesamte (ungebremste) Bewegung ist durch

$\gamma (t)=\{\begin{array}{c}P+t(u+w)\text{ für }t\le 0,\\ P+t(u-w)\text{ für }t\ge 0,\end{array}$

gegeben.