P^1xP^1/Einbettung in P^3/Aufgabe

1. Zeige, dass durch

   $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{3},\,((s,t),(u,v))\longmapsto (su,sv,tu,tv)=(x,y,z,w),$

   ein Morphismus gegeben ist.

2. Zeige, dass das Bild von ${}\varphi$ die homogene Gleichung

   ${}xw=yz\,$

   erfüllt.

3. Zeige, dass eine bijektive Abbildung

   $\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\times {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow V_{+}(xw-yz)$

   vorliegt.

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