Papierformat/Halbierung/Abbildungseigenschaften/Aufgabe/Lösung

1. ${}\,$
2. Es ist lediglich zu zeigen, dass die Werte der Funktion wieder ${}\geq 1$ sind. Bei

   ${}1\leq x\leq 2\,$

   ist

   ${}1\geq {\frac {1}{x}}\geq {\frac {1}{2}}\,$

   und damit

   ${}f(x)={\frac {2}{x}}\geq 1\,,$

   bei

   ${}x\geq 2\,$

   ist ebenfalls

   ${}f(x)={\frac {x}{2}}\geq 1\,.$

3. Bei ${}x\leq 2$ lautet die Bedingung für einen Fixpunkt ${}{\frac {2}{x}}=x$, was in diesem Abschnitt zur einzigen Lösung ${}x={\sqrt {2}}$ führt. Im anderen Bereich gibt es keine Lösung.
4. Für ${}x$ zwischen ${}1$ und ${}2$ ist auch

   ${}f(x)={\frac {2}{x}}\leq 2\,$

   und damit ist in diesem Bereich

   ${}f(f(x))={\frac {2}{\frac {2}{x}}}=x\,,$

   diese Zahlen sind somit allesamt Fixpunkte der Hintereinanderschaltung. Bei ${}x$ mit

   ${}2<x\leq 4\,$

   ist

   ${}f(x)={\frac {x}{2}}\geq 2\,$

   und somit

   ${}f(f(x))=f{\left({\frac {x}{2}}\right)}={\frac {2}{\frac {x}{2}}}={\frac {4}{x}}<2\,,$

   in diesem Bereich besitzt die Hintereinanderschaltung also keinen Fixpunkt. Bei

   ${}x>4\,$

   ist

   ${}f(f(x))={\frac {x}{4}}\,$

   und es gibt keinen Fixpunkt.

5. Auf den beiden Abschnitten handelt es sich um rationale Funktionen, die stetig sind, und bei ${}x=2$ haben beide Ausdrücke den Wert ${}1$.
6. Zu einem Blatt Papier sei das Verhältnis der längeren Seite zur kürzeren (eventuell gleichlangen) Seite mit ${}x$ bezeichnet. Es liegt also das Verhältnis ${}x$ zu ${}1$ vor. Wenn das Blatt an der langen Seite halbiert wird, so sid die neuen Seitenlängen ${}{\frac {x}{2}}$ und ${}1$. Wenn

   ${}{\frac {x}{2}}\geq 1\,$

   ist, was genau bei

   ${}x\geq 2\,$

   der Fall ist, so ist das Verhältnis lange Seite zu kurzer Seite des halbierten Blattes gleich ${}{\frac {x}{2}}$.

Zur gelösten Aufgabe