Parabel/Tangente/Flächeninhalt/Aufgabe/Lösung

1. Die Ableitung im Punkt ${}a\in \mathbb {R}$ ist ${}2a$. Dies ist die Steigung der Tangente ${}t_{a}$, die durch den Punkt ${}(a,a^{2})$ verläuft. Für die Tangentengleichung gilt

   ${}t_{a}(x)=2ax+c\,$

   und aus

   ${}t_{a}(a)=2a^{2}+c=a^{2}\,$

   folgt

   ${}t_{a}(x)=2ax-a^{2}\,.$

2. Der Ansatz

   ${}t_{a}(x)=2ax-a^{2}=0\,$

   führt auf

   ${}x={\frac {a}{2}}\,,$

   wobei bei ${}a=0$ die gesamte ${}x$-Achse die Tangente ist.

3. Aus Symmetriegründen sei ${}a\geq 0$. Der Flächeninhalt der in Frage stehenden Fläche ergibt sich, wenn man vom Flächeninhalt unterhalb des Graphen zwischen ${}0$ und ${}a$ den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Ecken ${}({\frac {a}{2}},0),\,(a,0),\,(a,a^{2})$ abzieht. Es ist

   ${}\int _{0}^{a}x^{2}dx={\frac {1}{3}}x^{3}|_{0}^{a}={\frac {1}{3}}a^{3}\,$

   und der Flächeninhalt des Dreiecks ist

   ${}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a}{2}}\cdot a^{2}={\frac {a^{3}}{4}}\,.$

   Der gefragte Flächeninhalt ist also gleich

   ${}{\frac {1}{3}}a^{3}-{\frac {1}{4}}a^{3}={\frac {1}{12}}a^{3}\,.$

   Für beliebiges (auch negatives) ${}a$ ist die Antwort ${}{\frac {1}{12}}\vert {a}\vert ^{3}$.

Zur gelösten Aufgabe