Parametrisierte Vektoren/abc/Zyklisch vertauscht/Dimensionen/Aufgabe/Lösung

Sei  $a=b=c=0$.  Dann steht hier dreimal der Nullvektor und der davon erzeugte Untervektorraum ist der Nullraum, welcher die Dimension $0$ besitzt.

Sei  $a=b=c=1$.  Dann steht hier dreimal der Vektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$ und der davon erzeugte Untervektorraum besitzt die Dimension $1$.

Sei  $a=0$,   $b=1$  und  $c=-1$.  Dann liegen die Vektoren

$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)$

vor. Addition dieser drei Vektoren ergibt den Nullvektor, sodass eine lineare Abhängigkeit vorliegt und die Dimension des erzeugten Raumes maximal $2$ sein kann. Da die ersten beiden Vektoren offenbar linear unabhängig sind, ist die Dimension genau $2$.

Sei  $a=1$  und  $b=c=0$. 

Dann liegt die Standardbasis vor und der erzeugte Vektorraum ist ${ℝ}^3$, also dreidimensional.

Zur gelösten Aufgabe