Partialbruchzerlegung/Zmod5/1 durch (X^2)(X^3+X+1)/Aufgabe/Lösung

a) Das Polynom ${}X^{2}+2$ besitzt für ${}0,1,2,3,4$ die Werte ${}2,3,1,1,3$, ist also nullstellenfrei. Nach Fakt ist es somit irreduzibel.

b) Das Polynom ${}X^{3}+X+1$ besitzt für ${}0,1,2,3,4$ die Werte ${}1,3,1,1,4$, ist also nullstellenfrei und damit wieder irreduzibel.

c) Wir machen den Ansatz

${}{\frac {1}{{\left(X^{2}+2\right)}{\left(X^{3}+X+1\right)}}}={\frac {aX+b}{X^{2}+2}}+{\frac {cX^{2}+dX+e}{X^{3}+X+1}}\,.$

Durch Multiplikation mit dem Hauptnenner führt dies auf

${}{\begin{aligned}1&=(aX+b)(X^{3}+X+1)+(cX^{2}+dX+e)(X^{2}+2)\\&=(a+c)X^{4}+(b+d)X^{3}+(a+e+2c)X^{2}+(a+b+2d)X+b+2e.\end{aligned}}$

Also ist

${}a+c=b+d=a+e+2c=a+b+2d=0\,$

und

${}b+2e=1\,.$

Wir schreiben

${}a=-c\,$

und

${}b=-d\,.$

Einsetzen ergibt

${}e+c=0\,$

und

${}-c+d=0\,.$

Daher ist

${}e+d=0\,$

und

${}-d+2e=1\,,$

was zu

${}3e=1\,,$

also

${}e=3^{-1}=2\,$

führt. Damit ist

${}e=a=b=2\,$

und

${}c=d=3\,.$

Die Partialbruchzerlegung ist also

${}{\frac {1}{{\left(X^{2}+2\right)}{\left(X^{3}+X+1\right)}}}={\frac {2X+2}{X^{2}+2}}+{\frac {3X^{2}+3X+2}{X^{3}+X+1}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe