Partialbruchzerlegung/x^3+7x^2-5x+4 durch x^2-3/Stammfunktion/Aufgabe/Lösung

a) Division mit Rest ergibt

${}x^{3}+7x^{2}-5x+4=(x^{2}-3)(x+7)-2x+25\,.$

Daher ist

${}{\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}=x+7+{\frac {-2x+25}{x^{2}-3}}\,.$

Wegen ${}x^{2}-3=(x-{\sqrt {3}})(x+{\sqrt {3}})$ machen wir den Ansatz

${}{\frac {-2x+25}{x^{2}-3}}={\frac {a}{x-{\sqrt {3}}}}+{\frac {b}{x+{\sqrt {3}}}}\,.$

Dies führt auf

${}{\begin{aligned}-2x+25&=a(x+{\sqrt {3}})+b(x-{\sqrt {3}})\\&=(a+b)x+(a-b){\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

Somit ist ${}a+b=-2$ und ${}a-b={\frac {25}{\sqrt {3}}}$, woraus sich ${}2a=-2+{\frac {25}{\sqrt {3}}}$ und ${}2b=-2-{\frac {25}{\sqrt {3}}}$ ergibt. Also ist

$a=-1+{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}{\text{ und }}b=-1-{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}.$

Somit ist die Partialbruchzerlegung gleich

${}{\frac {x^{3}+7x^{2}-5x+4}{x^{2}-3}}=x+7+{\frac {-1+{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}}{x-{\sqrt {3}}}}+{\frac {-1-{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}}{x+{\sqrt {3}}}}\,.$

b) Eine Stammfunktion zu ${}f(x)$ ist (auf dem Definitionsbereich)

$F(x)={\frac {1}{2}}x^{2}+7x+{\left(-1+{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}\right)}\ln \vert {x-{\sqrt {3}}}\vert +{\left(-1-{\frac {25}{2{\sqrt {3}}}}\right)}\ln \vert {x+{\sqrt {3}}}\vert .$

Zur gelösten Aufgabe