Partielle Ableitung/R/xy^3 durch x^2+y^2/Berechnung und Erläuterung/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto {\frac {xy^{3}}{x^{2}+y^{2}}}.$

Um die partielle Ableitung nach ${}x$ (in jedem Punkt) zu berechnen, betrachtet man ${}y$ als eine Konstante, so dass eine nur von ${}x$ abhängige Funktion dasteht. Diese wird gemäß den Ableitungsregeln für Funktionen in einer Variablen abgeleitet, so dass sich

${}{\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {y^{3}(x^{2}+y^{2})-xy^{3}(2x)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {-x^{2}y^{3}+y^{5}}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}}\,$

ergibt. Für die partielle Ableitung nach ${}y$ betrachtet man ${}x$ als eine Konstante und erhält

${}{\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {3xy^{2}(x^{2}+y^{2})-xy^{3}(2y)}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}={\frac {3x^{3}y^{2}+xy^{4}}{x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}}}\,.$