Peano-Axiome/Nachfolger/Fixpunktfrei/Antiperiodisch/Aufgabe/Lösung

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  1. Wir zeigen die Aussage

    durch Induktion über . Bei

    ergibt sich unmittelbar aus dem Axiom, dass kein Nachfolger ist. Sei die Aussage für richtig, also

    Die Gleichheit

    wäre in Verbindung mit der Induktionsvoraussetzung ein direkter Widerspruch zur Injektivität der Nachfolgerabbildung. Also ist

    und die Aussage ist bewiesen.

  2. Sei nun und

    fixiert. Wir zeigen

    durch Induktion über . Bei ergibt sich

    da sonst der Nachfolger von wäre. Sei die Aussage nun für richtig, also

    Nehmen wir an, dass die Gleichheit

    gilt. Wegen

    folgt aus der Injektivität der Nachfolgerabbildung direkt

    im Widerspruch zur Induktionsvoraussetzung. Also ist

    und die Aussage ist bewiesen.

Zur gelösten Aufgabe