Peano-Axiome/Nachfolger/Fixpunktfrei/Antiperiodisch/Aufgabe

Es sei ${}(M,0,N)$ ein Modell für die Peano-Axiome für den Nachfolger.

1. Zeige, dass ${}N$ fixpunktfrei ist, d.h. dass

   ${}N(x)\neq x\,$

   für alle ${}x\in M$.

2. Zeige, dass ${}N$ periodenfrei ist. D.h. für jedes ${}\ell \in \mathbb {N} _{+}$ ist

   ${}N^{\ell }(x)\neq x\,,$

   wobei

   ${}N^{\ell }=N\circ \cdots \circ N\,$

   die ${}\ell$-fache Hintereinanderschaltung von ${}N$ bedeutet.

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