Peano-Axiome/Positiver Polynomring/Kein Induktionsschema/Division mit Rest/Beispiel

Wir betrachten die Teilmenge

${}M\subseteq \mathbb {Z} [V]\,$

des Polynomrings in der Variablen ${}V$ über ${}\mathbb {Z}$, die aus dem Nullpolynom und allen Polynomen ${}P\in \mathbb {Z} [V]$ besteht, deren Leitkoeffizient zu ${}\mathbb {N} _{+}$ gehört. Die Menge ${}M$ umfasst die natürlichen Zahlen (als Polynome vom Grad ${}0$ mit nichtnegativem Leitkoeffizient) und sie ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation. Es gelten die erststufigen Peano-Axiome (1)-(6), wie man direkt sieht. Auch gilt die Vorgängereigenschaft, d.h. jedes von ${}0$ verschiedene Element besitzt einen eindeutigen Vorgänger (dies ist der Grund, warum wir abgesehen für den Leitkoeffizienten auch negative Koeffizienten zulassen), siehe Aufgabe. Dagegen gilt das erststufige Induktionsschema nicht, und die natürlichen Zahlen lassen sich als Teilmenge von ${}M$ erststufig charakterisieren. Zur Vereinfachung der folgenden Formulierung definieren wir die ${}\leq$-Relation durch

$x\geq y{\text{ genau dann, wenn }}\exists z(x=y+z),$

dies ist eine totale Ordnung nach Aufgabe. Damit setzen wir

$\alpha (x)=\forall m\forall d((m\leq x\wedge d\leq x\wedge d\geq 1)\rightarrow \exists q\exists r(m=qd+r\wedge r<d))\,.$

Dies ist ein Ausdruck mit der einzigen freien Variablen ${}x$, der inhaltlich besagt, dass die Division mit Rest gilt, wenn die beteiligten Eingangsdaten ${}m$ und ${}d$ unterhalb von ${}x$ liegen. Dieser Ausdruck gilt innerhalb der natürlichen Zahlen (also für ${}x\in \mathbb {N}$). Dagegen gilt sie in ${}M$ nicht, und zwar gilt sie dort nur für die natürlichen Zahlen. Für ein Polynom ${}x$ aus ${}M$ vom Grad ${}\geq 1$ kann man nämlich ${}m=x=a_{s}V^{s}+\cdots +a_{1}V+a_{0}$ und für ${}d$ eine Primzahl (aus ${}\mathbb {N}$) nehmen, die den Leitkoeffizienten ${}a_{s}$ von ${}m$ nicht teilt. Die Differenz zwischen ${}x$ und einem jeden Vielfachen von ${}d$ ist ein nichtkonstantes Polynom, daher gilt die Division mit Rest dafür nicht.

Wir betrachten nun die Induktionsversion dieser Aussage, also

$\alpha {\frac {0}{x}}\wedge \forall x{\left(\alpha \rightarrow \alpha {\frac {x+1}{x}}\right)}\rightarrow \forall x\alpha .$

Der Vordersatz gilt in ${}M$, da die beschriebene Eigenschaft genau für die natürlichen Zahlen und für alle anderen Elemente nicht gilt, und daher genau dann gilt, wenn sie auch für den Nachfolger gilt (die echten Polynome sind nicht als Nachfolger von natürlichen Zahlen erreichbar). Da der Nachsatz nicht gilt, ergibt sich, dass die Gesamtaussage nicht gilt.