Peano-Halbring/Kommutativer Halbring/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}M$ ein Peano-Halbring. Nur die Eigenschaft, dass ${}0$ das neutrale Element (von rechts) der Addition ist, tritt unmittelbar in den Peano-Axiomen auf. Die (erststufig formulierte) Eigenschaft ${}\forall x{\left(0+x=x\right)}$, also ${}0+x=x$ für alle ${}x\in M$ zeigen wir durch Induktion über ${}x$. Für ${}x=0$ ist dies klar. Es sei die Aussage also für ein ${}x\in M$ bewiesen. Dann ist nach Axiom  (4) und der Induktionsvoraussetzung

${}0+(x+1)=(0+x)+1=x+1\,.$

Wir zeigen zunächst, dass das vierte Axiom, also die Eigenschaft ${}x+(y+1)=(x+y)+1$, auch gilt, wenn man den ersten Summanden erhöht, also

${}(x+1)+y=(x+y)+1\,.$

Dies zeigen wir (für jedes ${}x$) durch Induktion über ${}y$. Der Fall ${}y=0$ ist klar, da ${}0$ neutrales Element ist. Der Übergang von ${}y$ nach ${}y+1$ folgt aus

${}(x+1)+(y+1)=((x+1)+y)+1=((x+y)+1)+1=(x+(y+1))+1\,,$

wobei wir das vierte Axiom und die Induktionsvoraussetzung angewendet haben.

Zum Nachweis der Kommutativität der Addition betrachten wir zu festem ${}y\in M$ die Eigenschaft, dass

${}x+y=y+x\,$

für alle ${}x$ ist. Dies wird erststufig durch

$\forall x(x+y)=(y+x)$

formalisiert, so dass wir also Induktion über ${}y$ anwenden können. Wir müssen also zeigen, dass diese Eigenschaft für ${}y=0$ wahr ist (was stimmt, da ${}0$ von beiden Seiten neutrales Element ist) und dass sie, wenn sie für ein ${}y$ gilt, dann auch für ${}y+1$ gilt. Dies folgt aber aus

${}x+(y+1)=(x+y)+1=(y+x)+1=(y+1)+x\,,$

wobei wir das Axiom  (4), die Induktionsvoraussetzung und einmal die Vorüberlegung angewendet haben. Für die weiteren Eigenschaften siehe Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.

Zur bewiesenen Aussage