Peano-Halbring/Kommutativer Halbring/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei ein Peano-Halbring. Nur die Eigenschaft, dass das neutrale Element (von rechts) der Addition ist, tritt unmittelbar in den Peano-Axiomen auf. Die (erststufig formulierte) Eigenschaft , also für alle zeigen wir durch Induktion über . Für ist dies klar. Sei die Aussage also für ein bewiesen. Dann ist nach Axiom  (4) und der Induktionsvoraussetzung

Wir zeigen zunächst, dass das vierte Axiom, also die Eigenschaft , auch gilt, wenn man den ersten Summanden erhöht, also

Dies zeigen wir (für jedes ) durch Induktion über . Der Fall ist klar, da neutrales Element ist. Der Übergang von nach folgt aus

wobei wir das vierte Axiom und die Induktionsvoraussetzung angewendet haben.

Zum Nachweis der Kommutativität der Addition betrachten wir zu festem die Eigenschaft, dass

für alle ist. Dies wird erststufig durch

formalisiert, so dass wir also Induktion über anwenden können. Wir müssen also zeigen, dass diese Eigenschaft für wahr ist (was stimmt, da von beiden Seiten neutrales Element ist) und dass sie, wenn sie für ein gilt, dann auch für gilt. Dies folgt aber aus

wobei wir das Axiom  (4), die Induktionsvoraussetzung und einmal die Vorüberlegung angewendet haben. Für die weiteren Eigenschaften siehe Aufgabe, Aufgabe und Aufgabe.