Peano-Halbring/Vorgängereigenschaft/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Beide Teilaussagen können wegen des ersten Peano-Axioms nicht zugleich wahr sein. Es geht also um die Aussage

$\mathrm{\forall }x((x=0)\vee \left(\mathrm{\exists }u(x=u+1)\right)),$

die wir durch Induktion beweisen. Der Induktionsanfang für  $x=0$  ist durch den linken Bestandteil gesichert. Es sei also die Aussage für ein gewisses $x$ schon bewiesen, und sie ist für $x+1$ zu beweisen. Bei  $x=0$  ist  $x+1=0+1$,  sodass man  $u=0$  nehmen kann. Bei  $x=u+1$  ist

$x+1=(u+1)+1$

und somit kann man $u+1$ nehmen.

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