Beweis
Wir betrachten den Ausdruck
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und wollen zeigen, dass er in jedem Peano-Halbring gilt. Dies zeigen wir unter Verwendung des Induktionsaxioms und fixieren einen Peano-Halbring
. Für
ist die Aussage richtig, da dann, falls der Vordersatz
gilt, dann insbesondere
in
gilt und man im Nachsatz
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nehmen kann, da ja
das kleinste Element ist. Zum Beweis des Induktionsschrittes müssen wir die Gültigkeit von
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zeigen. Es sei also die Aussage für ein bestimmtes
(also der Vordersatz links)
im Modell wahr. Wir müssen dann den Nachsatz, also die Aussage für
als wahr erweisen. Es gelte also
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Wenn sogar
gilt, so sind wir nach Induktionsvoraussetzung fertig. Es gelte diese Aussage also nicht. Das bedeutet einerseits, dass der Ausdruck
für kein Element aus
gilt, das kleiner als oder gleich
ist, und andererseits, dass
gilt, wenn
durch
interpretiert wird. Somit gilt der Ausdruck
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und damit
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