Peano-Halbring/Wohlordnungsprinzip/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir betrachten den Ausdruck

und wollen zeigen, dass er in jedem Peano-Halbring gilt. Dies zeigen wir unter Verwendung des Induktionsaxioms und fixieren einen Peano-Halbring . Für ist die Aussage richtig, da dann, falls der Vordersatz gilt, dann insbesondere in gilt und man im Nachsatz

nehmen kann, da ja das kleinste Element ist. Zum Beweis des Induktionsschrittes müssen wir die Gültigkeit von

zeigen. Es sei also die Aussage für ein bestimmtes (also der Vordersatz links) im Modell wahr. Wir müssen dann den Nachsatz, also die Aussage für als wahr erweisen. Es gelte also

Wenn sogar gilt, so sind wir nach Induktionsvoraussetzung fertig. Es gelte diese Aussage also nicht. Das bedeutet einerseits, dass der Ausdruck für kein Element aus gilt, das kleiner als oder gleich ist, und andererseits, dass gilt, wenn durch interpretiert wird. Somit gilt der Ausdruck

und damit