Peano/Erst N dann Z/Nachfolger/Keine Addition/Aufgabe

Es sei ${}M$ die disjunkte Vereinigung aus ${}\mathbb {N}$ und aus ${}\mathbb {Z}$. Wir definieren auf ${}M$ eine Nachfolgerfunktion, die auf den beiden Bestandteilen durch den üblichen Nachfolger gegeben ist (also durch ${}+1$), und wir betrachten die ${}0\in \mathbb {N}$ als die Null von ${}M$.

a) Zeige, dass ${}M$ die ersten beiden Axiome aus den erststufigen Peano-Axiomen für die Nachfolgerfunktion erfüllt.

b) Zeige, dass es keine Addition auf ${}M$ gibt, die mit den Additionen auf ${}\mathbb {N}$ und auf ${}\mathbb {Z}$ übereinstimmt und für die die Abziehregel gilt.

c) Gilt das erststufige Induktionsaxiom (formuliert für die Nachfolgerfunktion)?

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